Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
8) Мы предполагаем, что исходная система «груба» и что, следовательно, действительные части всех корней исходного характеристического уравнения отличны от нулей. § 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ состояний РАВНОВЕСИЯ 735
Начнем с первого случая. Известно, что при ;х —0 Хл+1 —у со, поэтому если [j. достаточно мало, то для вычисления Хл+1 мы можем в уравнении (10.6) отбросить все члены степени ниже л; тогда получим следующее асимптотическое выражение для Хл+1 при малых ;.<,:
V.^- у- (10.8)
Во втором случае мы можем характеристическое уравнение (10.7) переписать так:
AKA" + ^"-1 -f ... + ая]+ц = 0.
При [j, —0 Хл+1 —*¦ 0; поэтому при малых ix, пренебрегая высшими степенями Хл+1, мы получим во втором случае такое асимптотическое выражение для Хл+1:
(10.9)
"л
Теперь легко установить, какое влияние на устойчивость состояний равновесия может иметь введение нового малого члена в том и другом случаях. Поведение системы вблизи состояния равновесия определяется уравнением
X = be1™* + CiehtJ C^it +... J cnent¦ (10.10)
Если среди л «старых» корней X1, Xa,..., Хл есть хоть один с действительной частью, большей нуля, то состояние равновесия неустойчиво и новый корень Хл+1 не может ничего изменить в характере этого состояния — оно все равно будет неустойчиво. Если же все л корней (или их действительные части) отрицательны, то устойчивость состояния равновесия решается знаком корня Хл+1. Если этот корень отрицателен, то ничего нового он не вносит. Если же он положителен, то состояние равновесия оказывается неустойчивым и, значит, при переходе от исходной системы к дополненной происходит потеря устойчивости. Но знак Хл+1 зависит, с одной стороны, от знака [х и, с другой, от знака коэффициента а0 или ап исходного уравнения. Если выбрать я0 0, то ап должно быть положительно, чтобы состояние равновесия в исходной системе было устойчиво '). Следовательно, потеря устойчивости может произойти в том случае, если .стоящий при вновь введенном малом члене коэффициент [X отрицателен. Как мы увидим, такие случаи могут быть в реальных системах. Это значит, что состояние равновесия, которое без учета паразитного параметра кажется нам устойчивым, в силу
') Это требование сразу получается из так называемых условий Раута Гурвица. См., например, [95, 99]. 736
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
наличия этого параметра в действительности оказывается неустойчивым и реальная система в таком состоянии находиться не может. Совершенно очевидно, насколько важно было бы уметь отличать эти состояния равновесия, кажущиеся нам устойчивыми, от состояний равновесия действительно устойчивых, т. е. таких, в которых реальная система может находиться как угодно долго.
Несмотря на отсутствие каких-либо общих методов, мы все же можем указать прием, с помощью которого во многих случаях можно «разоблачить» такие состояния равновесия, которые только кажутся устойчивыми, а в действительности неустойчивы. Этот прием заключается в том, чтобы последовательно вводить в уравнение различные малые паразитные параметры и определять знаки, с которыми они входят в уравнение. Если мы обнаружим хоть один такой паразитный параметр, который входит со знаком минус, то есть основания опасаться, что состояние равновесия в действительности неустойчиво. Мы говорим только «есть основания», так как возможно, что другой паразитный параметр входит в этот же член уравнения со знаком плюс, и тогда знак коэффициента зависит от соотношения между величинами паразитных параметров, а величин паразитных параметров мы обычно не знаем. Кроме того, мы никогда не сможем рассмотреть влияние всех без исключения паразитных параметров. Поэтому, строго говоря, мы никогда не можем быть уверены в том, что состояние равновесия, которое с точки зрения нашей теории кажется устойчивым, действительно устойчиво. Решить этот вопрос окончательно не в состоянии никакая теория, ответ на него может дать только опыт. Но все же при теоретическом рассмотрении всегда нужно иметь в виду, что существует опасность принять неустойчивое состояние равновесия за устойчивое.
Чтобы показать, насколько велика эта опасность и насколько легко в некоторых случаях ее избежать и «разоблачить» состояния равновесия, кажущиеся устойчивыми, мы рассмотрим несколько конкретных примеров. В наших примерах мы ограничимся только такими случаями, которые могут быть рассмотрены до конца в рамках теории нелинейных уравнений второго порядка. Следовательно, мы будем рассматривать такие системы, которые при учете малых членов описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а при отбрасывании этих членов приводят к уравнению первого порядка. При этом мы начнем рассмотрение с уравнения второго порядка, а затем, предполагая один из параметров малым и отбрасывая соответствующий член уравнения, рассмотрим соответствующие уравнения первого порядка.
1. Схема с вольтовой дугой. В качестве первого примера мы рассмотрим уже знакомую нам схему вольтовой дуги, питаемой постоянным током (рис. 509). Кроме батареи и дуги, в этой цепи присутствуют сопротивление R, самоиндукция L и емкость С (само собой разумеется, что уже и в таком виде рассматриваемая схема § 2] МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ. 737
