Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
о
Как известно, при выполнении условий (9.21) Iiman(Z) существует
л oo
и является единственным решением a (Z) уравнения (9.16), удовлетворяющим начальному условию: a (Z0) = Tj1).
Будем теперь последовательно оценивать разности ап—а0. Для первого приближения будем иметь:
t t t її (t) = ri + v.$F[a0 (Z), Z] dt = 7) + fx If [a„ (Z)] dt + Ц J <p [a„ (Z), Z] dt.
to 'о
Но
t
IJ +14/[a,(f)]A = e0(f),
'о
поэтому
I1 tf)-a„(Z) = fiJ?[a0(Z),Z]rfZ.
Покажем ограниченность интеграла, стоящего в правой части полученного выражения. Обозначим через • N целую часть отношения
"'Дд' > т- е- число периодов подинтегральной функции (по явно входящему Z), целиком укладывающихся на отрезке интегрирования [Z0, Z].
1) Метод последовательных приближений и доказательство того, что функции a„(t) стремятся при л—» со к решению уравнения (9.16), можно найти, например, в [ИЗ]. § 3] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 667
Тогда
t N-1 <0 + 2«(ft + l) t
j>K (t),t]dt= 2 I T к (0.0dt-H I т K(0,0 dt=
I0 ft = 0 <0 + 2*ft /0 + 2пЛГ
лг - 1 <0 + 2« (ft + 1) = 2 і {?[«o(0,*]-?[«o(*o + 2iuA),f]A +
ft = О <0 + 2*ft
і
+ У <р [а0 (О, О A
/0 + 2*ЛГ
в силу (9.19). Используя неравенства (9.21) и теорему Лагранжа
0 конечных приращениях функций, имеем:
I т [во (О, о—т [во Со + 21CA), О I < <? К (0 — а0 tfo + 2ltA ) I <
OMQ|f —(*в+2ісА)|,
следовательно, /о + 2« (ft + 1)
1 і {тк(0,0-тк('о + 2*а),ои<
<0 + 2icft
<0 + 2« (ft + 1) < [iMQ j [t — (t0 + 2icA)] dt =
to + 2*ft
a
t
I j <p [e0 (0,0 dt I < ZiziMQD + 2tzP,
to
t
так как tiIV^D и j ? <p [e0 (ґ), f ] <ft j < 2iu A
to + 2чЛГ
Таким образом,
К (О "MO I O^, (9.26)
где
т. е. эта разность является величиной порядка [а.
Для того чтобы оценить а2 (t) — а0 (t), заметим, что
I <*2 (0 — «о (О I < I — «і I +1 «і — «о I-
Но
t
— Ii = f- j \F(Ol, О — P Сао» Ol dt-,
to 668 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
пользуясь последним из неравенств (9.21), имеем: t
I аг (Z) — O1 (Z) I <|x? ? I O1 — а01 <#< ^BS \ t — Z01 xBSD;
to
следовательно, мы будем иметь:
I (0 - а„ (О I < V^ (1 + BD). (9.27)
Далее,
I (О — а0 (О I s^ I аз — а21 + I ач — ai I + I ai — ао I-
Но
і t |а3 — а2 ] = j ^ [/7 (аа, t) — F(aut)] dt j <>? j | aa — O1 \ dt<
to <0
откуда
I a3 - a01 OS [l + BD \ Ш-*] . (9.28)
Продолжая дальше таким же образом, получим: , i^-o (BD)" - і
!«„-«„-,К^-^—1)1 .
I вя - е. I < 1*5 [l + BD + ^ + ... < (9.29)
Так как lim an(f) есть решение уравнения (9.16), то мы будем иметь:
п—>00
I а — a01 < [xSeBD. (9.30)
Однако все те оценки, которые мы делали, например использование неравенства (9.21), законны только до тех пор, пока мы можем ручаться, что все функции ay (Z) находятся внутри указанных нами границ, т. е. до тех пор, пока
IVj (0-11 <4 (9.31)
при
0^(Z-Z0)^Z>.
Посмотрим, выполняется ли это. Очевидно, в силу неравенства (9.22) существует такое число a (a^>0) '), что
I a0 (Z) — Т) I ^ Л — a (9.32)
') Величина а определена, коль скоро задано D и выбрано А. Выбор ;л не отражается на а. § 3] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 669
при любых Z, удовлетворяющих условию
О \х (Z — Z0XD.
Переходя к a, (Z), на основании (9.26) имеем (для тех же значений Z)
Ifli(O-I) К — 1 + 1 a.-1! Kl 1*5 +Д — а|,
откуда следует, что для выполнения неравенства (9.31) для ^1(Z) достаточно, чтобы |х5<^а. Далее,
ІМ9-Ч К l«2-a01 -ы — -Ч1 СIP-S Cl +0?>)+Л _а|, т. е. для того, чтобы |аа — ¦») | было меньше А, достаточно взять
1*5(1 +?D)<a. Продолжая таким же образом дальше, нетрудно видеть, что все
RD
проведенные оценки законны, если \xSe
Очевидно, что сколь бы мало ни было є, мы всегда можем указать такое [л, чтобы мы имели:
[х5ево<а (9.33)
и
И0-яв(0105ев0<е
для всех Z, удовлетворяющих неравенству [a(Z — Z0) sgZ). С этой целью нам достаточно выбрать (х меньше наименьшего из чисел
а є
S?5" ' sT5"'
Этим наше предложение доказано.
Совершенно так же и при аналогичных предположениях относительно свойств правых частей уравнений доказывается теорема, сформулированная в начале параграфа для системы второго порядка (9.7а). Сделав переход от медленно меняющихся переменных a, b к переменным X, у, мы, очевидно, сможем утверждать следующее:
Пусть в некоторой области А (например, внутри круга некоторого радиуса R с центром в начале координат) функция f(x,y) в уравнениях
*=У, У= — Jf+ [*/(.*, .у) (9.2)
непрерывна, ограничена и удовлетворяет условиям Липшица (или имеет непрерывные и ограниченные производные по X и у) '); пусть приближенное решение
jfO (0 = «0 (0 cos Z + bn (Z) sin Z = Ka (Z) cos [Z + MO L 1
-Voffl = — a0 it) sin Z + ba (Z) cos t=—Ka (Z) sin [t +ft0 (0]j
1) Эти условия, очевидно, обеспечат непрерывность и ограниченность правых частей уравнений, преобразованных к медленно меняющимся переменным (уравнений (9.7) или (9.10)), а также выполнение для них условий Липшица, 670 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
