Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
как нетрудно видеть, является параболой с осью, параллельной оси f. В зависимости от знака коэффициента ? (или, что то же самое, от знака коэффициента Si в выражении (9.43)). мы имеем два случая.
Если ?<0(pnc. 476, а), ТО 7 является монотонно возрастающей функцией р (при р^>0), и уравнение (9.46) не имеет положительных корней при (т. е. при а<^1) и имеет единственный положительный корень K1 при (при 1). Если же ?>0 (рис. 476,6), то парабола (9.46а) пересекает ось р в двух точках: в точке р = 0 и в точке p = 2?; в точке, для которой р = ?,
Y = — -Lj парабола имеет вертикальную касательную и вся парабола расположена справа от этой касательной. Следовательно, при ?^>0 уравнение (9.46) не
б2 /
имеет положительных корней при —-^j- (т. е. при а<^а0 =
= T+?V§") ' имеет два положительных корня Ki и Ki при -
<Л<С0 (при а0<^а<^1) и, наконец, один положительный корень при 7 0 (при а 1).
Так как для корней Ki уравнения (9.46)
Рис. 476.
V(Ki):
OiK2t
Р),
(9.47)
то при ?<^0 единственный предельный цикл, существующий только при 1, устойчив. Таким образом, при ?<^0 мы получим разбиения фазовой плоскости х, у на траектории, качественно такие § 4] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
683
же, как и в случае аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени (рис. 451), и характерные для мягкого возникновения колебаний (при изменении параметра а).
Иная картина получается при ?^>0 (т. е. при Si ^>0). Теперь устойчивым является только тот предельный цикл, радиус которого
/7,
т. е. вся часть параболы (9.46а), расположенная над ее осью p=? (она отмечена на рис. 476, б светлыми кружками), соответствует
устойчивым предельным циклам, а дуга параболы, заключенная между осью параболы и осью абсцисс, — неустойчивым предельным циклам. Таким ббразом, при ?^>0 мы имеем в зависимости от значения параметра а три качественно различных разбиения фазовой плоскости аг, у на траектории (рис. 477).
При а а0 (рис. 477, а) все траектории асимптотически при і —> -j- оо приближаются к состоянию равновесия—к устойчивому 684 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
фокусу (0, 0), т. е. генератор не возбуждается, любые его колебания являются затухающими. При 1 (рис. 477, б) состояние равновесия неустойчиво и все траектории стремятся (при к един-
ственному устойчивому предельному циклу;.в этом случае имеет место мягкий режим: автоколебания устанавливаются при любых начальных условиях.
Наконец, при (рис. 477, в) устойчивое состояние рав-
новесия (0, 0) и устойчивый предельный цикл радиуса Ki разделены неустойчивым предельным циклом радиуса Ki. Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного цикла, будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл '). Другими словами, в генераторе в зависимости от начальных условий будет устанавливаться или состояние равновесия или автоколебания с амплитудой Ki, т. е. мы имеем дело с автоколебательной системой в жестком режиме (для возникновения автоколебаний в генераторе системе нужно дать некоторый «толчок»: необходимо, чтобы в начальный момент времени К\).
На рис. 478 изображена плоскость параметров а, ?, разбитая на области различных режимов генератора.
Посмотрим теперь, как при когда при имеет
место жесткий режим, будет изменяться амплитуда автоколебаний при непрерывных и достаточно медленных изменениях параметра а. Если вначале генератор не возбужден, например а имеет некоторое значение, меньшее <х0, то при медленном и непрерывном возрастании параметра а изображающая точка системы будет находиться в состоянии равновесия (точнее, вблизи состояния равновесия и тем ближе к нему, чем медленнее изменяется параметр а) до тех пор, пока это состояние равновесия не потеряет устойчивости (при <х=1). Но при а= 1 уже существует устойчивый предельный цикл конечного радиуса K= |/ 2?, поэтому при увеличении параметра Qb=
') Неустойчивый предельный цикл не соответствует, конечно, автоколебательным процессам, существующим в генераторе. Он является границей, разделяющей «области притяжения» устойчивого автоколебательного режима и устойчивого состояния равновесий.
у////////// уКесткии \лрежим
"fIi
Генератор \ не 1 jinmu"'¦'¦:
Возбуждается :: : режим •
Рис. 478. § 4] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
685
в тот момент, когда а станет равным единице, возбуждаются автоколебания конечной амплитуды '). При дальнейшем увеличении а амплитуда автоколебаний непрерывно и монотонно растет (при а —>¦-[- оо 7—1 и Ar-^pa -f /?a -f 8).
При убывании параметра а изображающая точка будет находиться на устойчивом предельном цикле (точнее, вблизи него и тем ближе, чем медленнее изменяется а) до тех пор, пока а не станет равным а0. При переходе а через это бифуркационное значение устойчивый предельный цикл, слившись с неустойчивым предельным циклом,
пропадает, автоколебания срываются (при амплитуде, равной у/ ?) и система переходит в состояние равновесия.
