Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
X = a cos t b sin t = Ki cos it + O0), у = — as\nt-\-b cos t = — Ki sin (t + O0),
где O0 произвольно. Произвольность начальной фазы O0 для периодических движений по данному предельному циклу на плоскости X, у соответствует тому обстоятельству, что состояния равновесия укороченных уравнений образуют на плоскости a, b целые окружности.
Сразу видно, что предельный цикл будет орбитно устойчив, если соответствующие состояния равновесия на плоскости а, b будут устойчивы, и наоборот. Остальные траектории, представляющие собою на плоскости a, b отрезки прямых, преобразуются на плоскости х, у
Устойчивый фокус_
K1=O
Устойчивый предельный цикл
Heycmouчивый предельный цикл
Рис. 468.
(9.15) § 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
661
в спирали, вообще говоря, накручивающиеся на предельные циклы либо при t —> 4" оо, либо при t— — со.
Перейдем теперь ко второму случаю, когда W(A-)^O. Пусть уравнение vF(Zf) = O имеет несколько корней и пусть эти корни
будут Kl, Ki.....Km- Мы предположим, что ни одно из чисел Ar1,
Ki,..-, Km не совпадает с числами Ku Ki.....Kn, о которых у нас
уже была речь.
Тогда, возвращаясь к уравнениям (9.11), легко сделать заключение, что состояниям равновесия уравнения (9.11а) на фазовой плоскости а, Ъ соответствуют круговые предельные циклы, опять-таки с радиусами К\, Ki,..., Kn. Движение изображающей точки на плоскости а, Ъ по какому-нибудь предельному циклу радиуса Kj подчиняется уравнениям:
K=Kj = const, O = Jj-W (Kj) t + O0
или
a = Kj cos { ц ЧГ (Kj) ^ ^o }> . * = — Kj sin { р W (Kj) t + O0}.
Устойчивость или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соот-
ветствующего состояния равновесия для уравнения (9.11а), а направление вращения — знаком W(Kj).
Остальные кривые суть спирали, накручивающиеся на предельные циклы (или на состояние равновесия) либо при t-*--\- со, либо при — оо (рис. 469). Если мы теперь в этом втором случае перейдем 662 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
к неподвижной системе координат, то получим картину, совершенно аналогичную той, которая была на этой плоскости в первом случае. Мы будем опять иметь ряд предельных циклов с радиусами Ki,
Кч.....Kn. Движение по какому-нибудь из этих предельных
циклов, для которого K=Kj, дается уравнениями
X = KjCos { [1+н -H01
у =-^8^1+^(^)1/ + 00}. J
Этот случай отличается от первого случая лишь тем, что здесь мы имеем определенную поправку на частоту Аш =|і? (Kj), которая в первом приближении по р. соответствует поправке на период т =
= —2it|i4T (Tfy) (т. е. относительной поправке ^ = — р. tF(Tfy)).
Остальные траектории — опять спирали, вообще говоря, медленно накручивающиеся на предельные циклы или на состояние равновесия X = 0, у = 0, если последнее существует и устойчиво.
Мы истолковали результаты исследования укороченных уравнений (уравнений (9.8) или, что все равно, уравнений (9.11)) на основной фазовой плоскости х,у. Теперь возникает вопрос, в какой мере эти результаты отражают свойства решений исходных уравнений (9.2) ?
Можно доказать (и в этом, вообще говоря, и заключается обоснование метода Ван-дер-Поля), что то разбиение фазовой плоскости X, у на траектории, которое мы только что получили с помощью решений укороченных уравнений, аппроксимирует при достаточно ма. лых р. картину фазовых траекторий исходной системы уравнений (9.2). Это высказывание можно сделать более точным. Именно, что касается предельных циклов, то мы докажем, что при достаточно малых р. уравнения (9.2) действительно имеют предельные циклы (если уравнение Ф (К) = 0 имеет простые корни Ki), которые близки к окружностям с радиусами Ki (тем ближе, чем меньше р.), и не имеют других предельных циклов; эти предельные циклы, соответствующие периодическим, близким к синусоидальным движениям, устойчивы, если ф' (K1) < оа).
Что же касается решений, соответствующих процессам установления, то мы, следуя Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси [90], докажем, что решения укороченных уравнений сколь угодно мало отличаются от решений исходных уравнений (9.2) (при одинаковых
') Заметим, что для этого решения равняется у лишь с точностью до
величин порядка [а.
8) В § 5 этой главы, когда будет идти речь о методе Пуанкаре, мы получим выражение для периода автоколебаний в виде ряда по степеням параметра [а, причем коэффициентом члена, пропорционального р., является — 2кУ(КІ). § 3] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
663
начальных условиях) в течение сколь угодно большого промежутка
времени— (D — положительное, сколь угодно большое число), н*
если параметр fj. достаточно мал.
§ 3. Обоснование метода Ван-дер-Поля
1. Обоснование метода Ван-дер-Поля для процессов установления [90, 149]. Для доказательства последнего утверждения, приведенного в конце предыдущего параграфа, относительно аппроксимирующих свойств выражения (9.9), полученного с помощью решения укороченных уравнений, нам, очевидно, достаточно доказать следующее предложение:
