Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Полученные результаты отображают, в известной мере, свойства реальных паровых машин, которые, как известно, обладают весьма небольшим саморегулированием, т. е. значительно изменяют скорость вращения вала при сравнительно небольших изменениях нагрузки или давления пара в паровой магистрали (именно поэтому паровые машины обычно снабжаются регуляторами скорости вращения вала!).
Таким образом, паровая машина, работающая на «постоянную» нагрузку, не является (при сделанных выше предположениях) автовращательной системой. Тем не менее, имея в виду изучение других, автовращательных динамических моделей паровой машины, мы все же проведем краткий анализ разбиения на траектории фазового цилиндра рассматриваемой сейчас динамической системы. Введем новые переменные:
0 = 9-? и fB0B=y^-"f;
тогда уравнение (8.83) для рассматриваемого случая постоянной нагрузки запишется в следующем безразмерном виде1):
O = z, і = ХФ(8) — ? (z, »), (8.83а)
где
X=S°o>1 (так как УИ„>УИ»)
') Здесь и ниже точкой'сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени <и03. § 10] ПАРОВАЯ МАШИНА
631
1 при 0<&<в и при 1CS^O<1C-f в,
при Є<0<іс и при іс + Є<0<2іс (8J5a)
(здесь в = Cp2 — Cpl—-введенный ранее «угол отсечки» пара);
!sgn Z при Z ф 0 и любых О, 1 при Z = O и 0<&<Є или іс<»<іс-|-Є, (8.84а) О при Z=Q и е<»<> или ic-f-Є <»<2іс
— приведенные идеализированные характеристики движущего момента машины и момента «постоянной» нагрузки (рис. 445).
Отметим некоторые особенности разбиения фазового цилиндра 0, z на траектории уравнений (8.83а): 1) на окружности z= 0 имеется два «отрезка покоя» e^o-O иіс-)-Є<0<2іс, состоящих из устойчивых состояний равновесия (в точках «отрезков покоя» & = О, Z = О, а траектории как на верхней, так и на нижней половине фазового цилиндра подходят при возрастании t к этим точкам, поскольку при указанных значениях o Z = — 1 при Z 0 и і = -)- 1 при z<^0); 2) на нижней половине фазового цилиндра (при 2<^0и любых О) Z >0, поэтому там все траектории идут к окружности Z = 0, т. е. или идут к состояниям равновесия на «отрезках покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра (на окружности z = 0 г = 0 при 9<»0 покоя», и Z = X--при
Я Я+в Y(z,i})
2Я
Z'if
-I
Рис. 445.
її -f- в =? О 2ic, т. е. на «отрезках 0<»<в, ic ^ »< ic-f-Є, т. е. вне «отрезков покоя»); 3) нет фазовых траекторий, переходящих (при возрастании t) с верхней половины фазового цилиндра на нижнюю.
Траектории на верхней половине фазового цилиндра (z ^>0) определяют два точечных преобразования: точечное преобразование II, преобразующее точки полупрямой U (0 = 0, z = u^> 0) в точки полупрямой U' (Я = тс, z = u'^> 0), и точечное преобразование II' полупрямой U' в полупрямую t) = 2ic, т. е. в полупрямую U. 632 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
Так как движущий момент и, следовательно, правые части уравнений (8.83) являются периодическими функциями угла 8 с периодом, равным тс (а не 2т:), то разбиения на траектории половин фазового цилиндра "О =? 8 тг и тг =?; 8 2-тг будут тождественными друг другу, в силу чего будут совпадать и точечные преобразования
II и II' (П = П'). Поэтому в последовательности точек пересечения какой-либо, произвольно выбранной траектории с полупрямыми U и U':
Z--V
H1, U4
uk> uk+i>
Отрезок покоя Рис. 446.
каждая последующая точка определяется по предыдущей одним и тем же точечным преобразованием (например, преобразованием П), независимо от того, на какой из полупрямых лежит эта точка:
Iijw = II(Jift)').
Для вычисления функции COOT-^ ветствия точечного преобразования Il построим на части фазового цилиндра: 0<8<^7r, фазовые траектории уравнений (8.83а), определяющие это преобразование уравнения движе-
ние. 446). В области (Г): ( ния (8.83а) имеют вид:
8 = г, i = X— 1,
откуда
dz_X-I
da г
Интегрируя последнее уравнение, получим, что траекториями в области (!) являются дуги парабол:
_ 2 (X— 1)8 = COiist. (8.86а)
Аналогично в области (II): в«?8<^тг, где
dz 1
f = г, Z = — 1
db
') Последовательность точек U1, иг, ... может быть, вообще говоря, конечной, так как возможен такой случай, когда на полупрямой U имеется отрезок, точки которого преобразуются фазовыми траекториями не в точки полупрямой U', а в точки «отрезка покоя» (точки этого отрезка на полупрямой U не будут иметь последующих на полупрямой U1). § 10]
ПАРОВАЯ МАШЦНА
633
траекториями являются дуги других парабол:
г2 -j- 2» = const. (8.866)
Пусть L — траектория уравнений (8.83а), начинающаяся в некоторой точке и полупрямой U (т. е. в точке 8 = 0, г = гг^>0). Ее уравнением при Osg;8<^0 будет:
г2 = «2-f- 2 (X — 1)8,
поэтому она выйдет на границу области (!) — на полупрямую V (8=0, г = г>^>0) в точке с ординатой v, определяемой соотношением
Vi = O1 2 (X — 1)0.
В области (II) уравнением траектории L будет:
Zi = V2 — 2 (8 — 0),
и следовательно, для точки пересечения траектории L с полупрямой U':
