Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
где Sfc+i=/(Sfc), сходится к ней (см. «лестницу» Ламерея, построенную на рис. 442)'). Соответственно любая фазовая траектория
') Так как f (O) = lim f (s) = 1, то для аналитического доказательства
S-* О
устойчивости неподвижной точки S — О мы не можем воспользоваться теоремой Кенигса. Можно дать следующее простое доказательство устойчивости этой неподвижной точки, опираясь на ее единственность. Рассмотрим какую-либо последовательность чисел:
Si, S2, . . . , Sfc, sft+1, ... ,
где =/(Sfc) — последовательность координат точек пересечения некоторой фазовой траектории с осью абсцисс. Любая такая последовательность является монотонно убывающей последовательностью положительных чисел; поэтому рассматриваемая последовательность имеет предел. Допустим, что он равен а >0. Тогда lim sk=an lim sk+l =а, но s/;+1 =/(sft), где /(s) — непре-
ft-» + oо k-*-\-co
рывная функция (при всех s > 0), поэтому согласно теореме о пределе непрерывной функции
= lim Sft +1 :
k-* OO
= lira /(Sfc) =
k + OO
=m 626 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
асимптотически (при t—* -j-oo) приближается к состоянию равновесия (0,0), при этом число ее пересечений с осью абсцисс неограниченно возрастает. Следовательно, все траектории системы уравнений (8.80) имеют вид спиралей, скручивающихся к состоянию равновесия (0, 0), в силу чего последнее является устойчивым фокусом.
§ 10. Паровая машина
В заключение главы рассмотрим пример автовращательной системы — простейшую динамическую модель (с одной степенью свободы и с цилиндрической фазовой поверхностью) парового двигателя, схема которого приведена на рис. 4.43.
Как известно, .паровая машина является системой с «обратной связью»: золотник машины, связанный с ее главным валом через экс-
Рис. 443.
центрик, управляет поступлением пара в цилиндр (в его левую или правую полость в зависимости от положения вала) и позволяет тем самым получать от постоянного источника энергии (от паровой магистрали с постоянным давлением пара Я0) такое переменное
т. е. точка S = а также является неподвижной точкой преобразования, что невозможно в силу единственности неподвижной точки s = 0. Таким образом, любая последовательность
S1, S2, ..., вц, ... —¦ 0, т. е. единственная неподвижная точка s = 0 является устойчивой. § 10]
ПАРОВАЯ МАШИНА
627
воздействие на поршень, которое поддерживает колебательное движение поршня и вращательное движение вала (маховика) машины, несмотря на наличие сил сопротивления (в частности, сил, действующих на машину со стороны ее нагрузки)*). Сила / давления пара на поршень (при заданном давлении пара в паровой магистрали) зависит от положения золотника, который (в зависимости от своего положения) соединяет одну или другую полость цилиндра f с паровой магистралью или с конденсатором пара или же перекрывает паропрово-дящий канал полости, и от положения поршня, поскольку давление пара в полости цилиндра зависит от объема этой полости, если ее канал перекрыт золотником. Ради упрощения задачи будем пренебрегать зависимостью силы / от других величин, например от скорости движения поршня машины4). Так как положения поршня, вала и золотника машины однозначно определяются углом поворота вала <р (но не определяются однозначно, например, координатой поршня лг), то, во-первых, сила / будет некоторой однозначной и периодической (с периодом, равным 2л) функцией угла ср (график этой функции
качественно изображен на рис. 444) и, во-вторых, состояние полученной динамической модели паровой машины (с одной, механической степенью свободы) будет однозначно определяться заданием угла
M Действительная характеристика
Идеализированная характеристика
п* ф,
Рис. 444.
*) Для получения переменной силы давления пара на поршень, поддерживающей вращение вала машины, эксцентрик золотника должен быть повернут на угол около 90° относительно кривошипа шатуна по направлению вращения вала.
а) Строго говоря, сила / давления пара на поршень зависит и от скорости движения поршня, так как при ббльших скоростях движения поршня будут иметь место большие объемные расходы пара и меньшие давления пара в полости цилиндра из-за увеличенного перепада давления на окнах и каналах парораспределительного устройства (золотника), которые обладают некоторым, отличным от нуля гидравлическим сопротивлением. Однако эт^ зависимость обычно невелика, и ею мы будем пренебрегать. 628 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
поворота <р и угловой скорости ~~ вала. Соответственно фазовая поверхность этой модели будет цилиндрической
Уравнение вращения вала машины (при сделанных предположениях) запишется в следующем виде:
Ijg=M-Ma, (8.83)
где / — момент инерции машины (главным образом маховика) и ее нагрузки, приведенный к оси вала (ниже будем считать, что / не зависит от <р, т. е. является постоянным), M — момент сил, действующих на вал со стороны поршня машины («движущий момент») и Mh— момент сил сопротивления, преодолеваемых машиной, включая момент сил, действующих на вал со стороны нагрузки машины. Момент сил M связан с силой давления пара на поршень / соотношением
