Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним основные результаты рассмотрения такого осциллятора, проведенного в § 1 гл. III. На верхней части фазовой плоскости X, у, где у 0 и уравнения колебаний имеют вид:
X =у, 2у = — jc —у*,
фазовыми траекториями являются кривые:
(у2 + х- \)ех = С (8.81)
(С—постоянная интегрирования, причем CTs=—1); парабола у'2 = = 1—jc, соответствующая значению C = 0, является сепаратрисой, разделяющей траектории, идущие из бесконечности (для них С^>0), и траектории, начинающиеся в точках оси абсцисс слева ог начала координат (для последних —1<^С<^0); значению C = —1 соответствует изолированная особая точка (0,0) — состояние равновесия системы. При этом все траектории на верхней полуплоскости выходят на ось абсцисс справа от начала координат (рис. 440).
Так как уравнения (8.80) не меняют своего вида при замене переменных X, у на — jc, —у, то траектории в нижней части фазовой плоскости (у<0) симметричны относительно начала координат с траекториями на верхней полуплоскости. В частности, все траектории на нижней полуплоскости выходят на ось абсцисс слева от начала координат.
') Из уравнений (8.80) следует, что единственным состоянием равновесия системы является точка (0, 0). Заметим, что вопрос о характере (об устойчивости) этого состояния равновесия не может быть решен путем линеаризации уравнений (8.80) в окрестности точки (0, 0). Действительно, отбрасывая в уравнениях (8.80) для их линеаризации 4fleH_y2sgn_y — единственный член второго порядка малости (по сравнению с х vi у), мы получим уравнение гармонического осциллятора с особой точкой (0, 0) типа центра, т. е. как раз тот случай, когда вопрос о характере состояния равновесия исходной нелинейной системы не может быть решен путем исследования соответствующих линеаризованных уравнений. § 9] ОСЦИЛЛЯТОР С КВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМ
623
Эти свойства фазовых траекторий уравнений (8.80), очевидно, позволяют свести задачу рассмотрения хода траекторий к исследованию последовательности точек пересечения некоторой, произвольной
фазовой траектории с осью абсцисс (рис. 441),—к исследованию точечного преобразования положительной и отрицательной частей оси
абсцисс (полупрямых U и V на рис. 441) друг в друга, осуществляемого траекториями уравнений (8.80). Введем в качестве координаты на положительной и отрицательной полуосях л; (на полупря- 624 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
мых U и Vr) расстояние 5 до начала координат (s^>0). Тогда симметричным точкам на оси абсцисс будут соответствовать одинаковые 5 и точечное преобразование отрицательной полуоси лг (полупрямой U) в положительную полуось лг (в полупрямую Vr) будет тождественным, (будет иметь ту же функцию соответствия) с точечным преобразованием полупрямой V в полупрямую U. Поэтому в последовательности точек пересечения некоторой, произвольной фазовой траектории с осью абсцисс:
Si, S2, . . . , Sk, Sk+1, . . .
каждая последующая точка определяется по предыдущей единым точечным преобразованием, единой функцией соответствия
4+I=Z(Sk)'
независимо от того, на какой из полупрямых (на U или на Vr) лежит предыдущая точка.
Для вычисления функции соответствия этого точечного преобразования рассмотрим фазовую траекторию в верхней полуплоскости лт,_у, начинающуюся в точке (—s, 0) полупрямой U и вновь выходящую на ось абсцисс (на полупрямую Vr) в точке (s', 0) (рис. 441); здесь S — координата точки на полупрямой U, s' — координата ее последующей на полупрямой V (при этом s^>0, а 0-C^sr <^1). Согласно (8.81) координаты этих точек будут связаны уравнением
— (s-f- l)e-5 = (sr— 1)<*' (=С), (8.82)
причем —1<^С<\0. Так как ^7 [(s' — 1) es'] = s'es' 0, то это уравнение определяет однозначную и непрерывную функцию соответствия Sr =/(s). Для того чтобы найти неподвижные точки рассматриваемого точечного преобразования, введем параметр % =— С Тогда уравнение (8.82) можно записать в параметрической форме — в виде двух уравнений:
(l+s)«-' = S. 1
(1 —sVJ' =E1 } ¦ <8-82а>
выражающих (правда, по-прежнему в неявной форме) s и s' — координаты исходной точки и ее последующей — через параметр Ъ
где ср и ф, как нетрудно видеть, однозначные и непрерывно дифференцируемые функции. Построим на общей диаграмме (на диаграмме Ламерея) графики этих двух функций (рис. 442). Очевидно, § 9]
ОСЦИЛЛЯТОР С КВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМ
625
эти кривые пересекаются в точке s = s' = О, E=I1 т. е. точка § = 0 является неподвижной точкой точечного преобразования; этой неподвижной точке соответствует состояние равновесия s-s системы. Так как
сП ds
di ds
= —s<Ts< 0, ^ = -s'es' <0
и, следовательно, при одинаковых S и s'
ds ds''
то кривая s = cp(?) идет правее кривой s' = ¦}(?), т. е. при каждом 0<^?<М
Sr = HQO = Ttf).
Таким образом, неподвижная точка S = O рассматриваемого точечного преобразования является единственной;
кроме того, точка S = O устойчива, поскольку любая последовательность точек:
Sl> Si..... Sk> Sb
Неподвижная точна
I
Рис. 442.
5ft+i>
