Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность точек полутраектории L+: P1, Pi, P3..... Pn,...,
стремящихся к точке P (так как точка P—предельная для полутраектории L+). При этом точки P1, Pi,... расположены на отрезке I в порядке возрастания значений t:
tu tt, t3,..., tn, ... {tn + со при л + оо).
h
На основании предложения VIII, выбирая (Д^>0), мы все-
гда можем взять окружность столь малого радиуса 8 = S (є, Д) вокруг точки Р, чтобы траектория, проходящая при t = z через любую точку внутри этой окружности, за время от t = т до t = T не выходила из є-окрестности L9 и в момент t = Т, сколь угодно мало отличающийся отт-}-/г (I Г—(т -}- h) I Д), пересекла бы отрезок I.
Возьмем точку Pkl, соответствующую t = Iitl и лежащую внутри окружности радиуса 8 на отрезке I. Будем считать в данном случае x = tkl. Тогда, в силу только что сказанного, значение Г будет равно
некоторому tk2, причем, в силу выбора Д ^Д <[ j, thi заведомо больше Ux (^, > tki). 408 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
Часть полутраектории L+, соответствующая промежутку времени от tkl до tks, целиком содержится в s-окрестности L0. Ясно, что точка Z3fca (соответствующая t = tfc2) лежит на отрезке I ближе к точке Р, чем точка Pkv и содержится, следовательно, внутри 8-окрестности точки Р. К точке Pka приложимо поэтому такое же рассуждение, как и к точке Z3fcl, значит, существует такая точка Z3fcs, соответствующая значению t = лежащая на отрезке без
контакта I, что часть полутраектории L+, соответствующая значениям t между 4a и 43> целиком содержится внутри s-окрестности L0.
Продолжая такое же рассуждение далее, мы видим, что вся часть полутраектории L+, соответствующая значениям t, большим tkv содержится внутри s-окрестности L0.
Покажем теперь, что замкнутая траектория L0 содержит все предельные точки полутраектории L+. Доказательство поведем от противного. Предположим, что полутраектория L+ имеет предельную точку Q, не лежащую на замкнутой траектории L0 и, следовательно, находящуюся на некотором расстоянии от L0. В любой сколь
угодно малой окрестности точки Q должны находиться точки полутраектории L+, соответствующие сколь угодно большим значениям t.
Но, с другой стороны, в силу доказанного выше, сколь бы малое s^>0 мы ни взяли, всегда найдется такое ^ = что все точки полутраектории L+, соответствующие t будут лежать внутри s-
окрестности траектории L0.
Мы всегда можем взять s меньше, чем dj2, так что точка Q будет лежать вне е-окрестности L0, и, следовательно, сколь угодно близко от точки Q не смогут находиться точки полутраектории L+, соответствующие сколь угодно большим значениям t. Таким образом, мы приходим к противоречию, и теорема доказана.
Теорема IV. Если среди предельных точек полу траектории нет состоянии равновесия, то она либо замкнута, либо незамкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию.
Действительно, предположим, что L+ не замкнута. В силу сделанных на основании теоремы III заключений траектория, предельная для L+, может быть либо замкнутой траекторией (и тогда в силу предыдущей теоремы она является единственной предельной траекторией L+), либо незамкнутой траекторией, стремящейся к состоянию равновесия. Но второй случай, очевидно, невозможен, так как то состояние равновесия, к которому стремилась бы предельная для L+ траектория, очевидно, являлось бы предельным также и для L+, что противоречило бы предположению. Таким образом, теорема доказана.
Следствием этой теоремы является следующая, очень часто используемая теорема:
Теорема V. Пусть G — замкнутая двухсвязная (кольцевая) область, которая не содержит состояний равновесия и из которой траектории не выходят при возрастании t (при убывании t). § 2] теория поведения траекторий на фазовой плоскости 409
Тогда внутри такой области G непременно существует хотя бы один устойчивый (неустойчивый) предельный цикл.
Действительно, у всякой незамкнутой траектории, входящей при возрастании t (убывании t) в область G, множество предельных точек целиком лежит в этой области и, следовательно, не содержит состояний равновесия. А тогда, в силу теоремы IV, это множество является замкнутой траекторией (предельным циклом).
Таким образом, в области G лежит хотя бы один предельный цикл. Однако в ней может лежать и более одного предельного цикла. Если предположить, что среди этих предельных циклов нет «полуустойчивых» (они возможны только в «негрубых» системах; см. § 4 настоящей главы), то, очевидно, в случае, когда все траектории при возрастании t входят в область G, в ней заведомо лежит хотя бы один устойчивый предельный цикл, а в случае, когда все траектории при возрастании t выходят из области G, — хотя бы один неустойчивый.
В случае, когда в области G существуют полуустойчивые предельные циклы, справедливость теоремы устанавливается несколько более сложным рассуждением, которое мы не приводим. На эту теорему мы опираемся во всех случаях, когда существует область между двумя циклами без контакта, в которую все траектории входят при возрастании t (при убывании t)!).
