Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
(/> я, (0)=(^,(0^(/))=0.
(7.49)
Величина !/г,, которая, согласно (747), предстаяіяет собой
скорость распада энергии атома, может быть просто выражена в континуальном пределе для модового суммирования Замена
(2•-i)3
С7-5І)
') Отметим, что jравнение (749) не выполнилось бы при каком-либо другом способе упорядочения операторов Например, ентцнормальное упорядочение Педет к выражению
(Ф j вакуум I A1(JJ+ | вакуум) | Ф) = (Ф | вакуум | Я, | I1) | Ф) e"0*'. (7JjOa)
Однако нк невозможно использовать для дальнейших расчетоп поскольку правая часть (7.50а) не сводится к
(вакуум I ],.> (Ф І З, I Ф> (7.506)
гак как при t =?= Cl R1(I) нельзя вынести за знак фотенното матричного элемента [при (=5*= 0 величина R,(t) уже не является чисто атомным оператором ввиду наличии в (714а) слагаемого (2wad/ftc).Ws. которое превращает оператор атомного диполыюго момента If1(Z) при / > 0 по крайнем мере ча етично, я фотпігцьій оператор] Конечно, если использовать антииормальное упорядочение как дтн частей, связанных с источниками так и для вакуумных частей, то компенсирующие изменения в членах источников приведут в конечном итоге к толу же уравнению (7 47). Это можно проверить точными расчетами [12 13].
превращает суммирование по модам в интегрирование по волновым векторам плюс суммирование по поляризациям Если использовать тождество
X [e(ft)-udF=l-(ufc-udF, (7.52)
то угловой интеграл легко вычисляется.
\[\-(uk-ud)2]dQ{k) =
(7.53)
Остающийся интеграл по частотам тривиально вычисляется с учетом свойств O-функщіи что ведет в конечном итоге к выражению
" j he*
(7.54)
Итак 1/ті точно совпало с коэффициентом Эйнштейна А как и следовало ожидать Индекс 1 у т имеет двоякий смыст Во-первых, феноменологическим аналогом ц является величина 7",, фигурировавшая в гл 3—6 Во вторых, т, отвечает распаду уединенного атома, соответствующий многоатомный аналог Tw об сужцается в гл 8
Распад энергии атома во времени происходит, очевидно, экспоненциально Действительно, интегрируя уравнение (7 47), получаем
(? (0> = - % + {(? (0)) + 1M е-'"'. (7-551
где (?з(0)) — произвольное начальное возбуждение Как и следовало ожидать, при любом начальном значении величины (Й3) в конечном итоге монотонно достигается основное состояние со значением —1Iz Экспоненциальный характер затухания отвечает лоренцевой форме линии с полушириной 1/ті Детальный расчет формы линии с использованием дипольной корреляцион ной функцій (8+(1 -f т)Й-(О) проведен в 110] и приводит к ана логичному результату.
Рассмотрим далее уравнение для величины R+ = Й, + 1Й2, т е для «положительно-частотной» чистн оператора дипольного момента ki Уравнение для R+ после вакуумного усреднения приобретает вид
j (R+ (t)) = іщ (R+ (0) + 2 (А (0 Я, (f».
(7.56)
Подставляя для АЙЯ выражение (7.44) и пользуясь тем, что нормально упорядоченные вакуумные средние обращаются в нуль, получаем относительно простое уравнение
№+ (0) -' ("•" + 6 + ¦sr) ('»-'("- ж) "»¦ f7-57*
170
Глава 7
Время жизни Ti определяется выражениями (7 4?) и (7 54), фигурирующий здесь параметр 6 в континуальном пределе ра* 1
•-ІШІ'іїІ-а)^. <™>
где Р~ обозначает, что интеграл берется в смысле главного значения, н введен условный верхний предел Kc, устраняющий ультрафиолетовую расходимость
Второе слагаемое в правой части уравнения (7.57) можно учесть, найдя сначала уравнение для (P ), аналогичное (7.57), и решая затем точно два связанных линейных уравнения первого порядка Однако в первом приближении влияние (р_) в уравнении (7 57) пренебрежимо мало, и его можно полностью игнорировать В результате находим следующее решение описывающее динамическое поведение дипольного среднего значения
(P+ (O) = (P+ (0»e'<M"+fl"e-"".. (7.59)
Вещественной и мнимой частями выражения (7 59) служат, естественно (Pi (г)) и (P2(O)
Как видно из (7 59), амплитуда осцилляции диполя медленно затухает, как п следовало ожидать Появляется однако, новый момент, связанный с б. Роль величины б сводится, очевидно, к сдвигу центра чинии перехода. Такой сдвиг при вакуумном состоянии поля может быть вызван лэмбовским сдвигом двухуровневого атома Выражение (758) для б имеет ряд интересных особенностей Во-первых, оно не согласуется с результатом, который получается на основе теории Вайскопфа—Внгнера (см [7], разд 5 6) спонтанного излучения Это обусловлено нали чнем в подынтегральном выражении слагаемого l/(ii>i -f-о)о) Во-вторых, по той же причине главная расходимость 6 не является линейной по параметру обрезания К, а сводится к логарифмической, как это и должно быть в правильном нерелятивистском расчете. В-третьих, б есть не что иное, как полностью массово-перенормированный частотный сдвиг, который может быть вычислен во втором порядке нерелятивистской теории возмущении Иначе говоря, техника операторов Гейзенберга приводит ? первом приближении к правильному результату для всех трех характеристик- воемени жизни, формы линии н сдвига линии
Кроме того полученные результаты показывают, что обычное «объяснение» спонтанного распада которое заключается в том, что вакуумные флуктуации «стимулируют» атом спонтанного излучать, не является обязательным. Действительно, вакуумная часть поля a?(f) не играет явной или исключительной роли при определении как частотного сдвига б, так и скорости распада \jx\.
