Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
<1а (г) — УЧе**' (7.7)
(где ех—любой из двух единичных векторов поляризации, перпендикулярных к,_), и векторный потенциал приобретает известны» вид
a((, r)=xgl[o,(/)e,ki + а; (/)*-"•>.']; (7в)
здесь для удобства введено обозначение
gi"V^ei' 17,9)
При получении уравнении движения Гейзенберга для атомных электронов мы ограничимся квазирезонанснымн ситуациями, в которых можно учитывать только один атомный переход Следствия этого ограничения те же, что и в гч 2 Иростран ство состояний атома становится двумерным и атомные опера торы могут быть представлены комбинациями 2 X 2 матриц Паули Удобно слегка изменить здесь подход, использовавшийся в § 3 гл 2 Первое изменение заключается в том, что в гамильтониане (7.1) опускается слагаемое (e2?mci)A2') и в качестве гамитьтониана взаимодействия используется лишь —[е(тс)\-р [гамильтонианы взаимодействия —d E и —(e/mc)f\ р +
') Это допустимо в дипо'іьном приближении —Прим ред
158__Глава 7_
') См твкже [16*, 17і] — Прим. ред.
-f-(es/*nrs)A2 отчичаются в дипольном приближении преобразованием калибровки] Превосходное обсуждение этих вопросов провели Пауэр и Зннау [I]1)
Второе изменение заключается в том, чтобы, следуя Дике [2\, использовать операторы R1-='/s6f (( = I, 2, 3) для представления атомных операторов Это есть просто способ обозначении, напоминающий, что мы имеем дело с электрическими, а не магнитными дипольньши переходами Множитечь Vs позволяет .записать коммутаторы для величин R в удобном виде, как для компонент углового момента
IR,, Aal = fft .
Эффективный двухуровневый га MTi п.тониан можно теперь представить как
Мы использовали лдесь известные соотношения между матричными элементами импульса и координаты
<+1 -^-1 -) = -J- (+ I Wa, «I I -> = *М+- (7-'')
Как и в гл. 2, \+) и I—) обозначают верхнее и нижнее состояния нашего атома ©о — частота перехода между ними и df_= (+|ег| —) — матричный элемент дипольного момента Кроме того, мы выбрали фазы состоянии так, что (I4- = diii гіе d вещественно, a u,i — единичный вектор в направлении d| .. Наконец, скаляр Л обозначает скалярное произведение A a iij:
•..=5:^^4^4 (7.12»
где г0 — радиус-вектор, опредечяющип положение диполя, и
¦ IV. Ґ7 13)
Нетрудно получить гейзенберговские уравнения для атомных операторов
R1 = - O0R3 + 2 М-,, (7 14а)
R51 = Ia0R,, (7 146)
^, = -2-?-?,. (7-I4B)
Квантовая электродинамика и спонтанное излучение
159
Операторные уравнения (7 14) не так сильно отличаются от уравнений (2 29) (которые мы вывели из d Е-взанмодействня), "как это может показаться на первый взгляд. Действительно, введем в (7 14) y. = 2d? и совершим каноническое преобразование — /?, R2-+Hu /?-,->/?,. Тогда идентификация — (тс/с) А с E (она справедлива вблизи резонанса) показывает, что результирующие уравнения для Me3B точности совпадают с уравнениями для б|і2, з (2 29).
В настоящей главе поле излучения полностью описывается операторами Декор реляционное приближение (типа использованного в гл 2 для перехода к полуклассической теории) здесь не привлекается Операторы полевых мод удовлетворяют уравнениям
'»A-2'^gUr0)R2, (7.15)
где
gx(ru> = &e'Vr°. (7.16)
В качестве поучительного упражнения предоставляем читателю вернуться от (7 12) и (7 15) к привычному волновому уравнению Максвелла (см [3J)
где JJ-(Z1 г)—поперечная часть плотности тока J(t, г), возникающего вследствие осцилляции квантового диполя в точке Го.
J(Z, г) = -2rflWt,(0(г — T0). (7.18)
Наконец, уместно сделать следующее замечание относительно порядка операторов в (7 10) и (7 14) Полевые операторы коммутируют со всеми атомными операторами, если взять их в один и тот же момент Времени, поскольку полевые и атомные операторы относятся к различным степеням свободы системы. Поэтому произведения Операторов вида A(Z1 r0) R3(t) могут быть записаны несколькими эквивалентными способами Сказанное иллюстрируется соотношениями
Z gA (Ax + й*) R3 = Zg^ (a-?-s + R&) = = Z gA К + 4t) = Z g, (AtR3 + І?А>
которые справедливы, если временные аргументы всех операто-роп одинаковы
В последующих параграфах мы будем использовать для Удооства «нормальный» порядок полевых операторов начиная
Ї60
Глава ?
любые расчеты мы представляем операторные произведения таким образом, что вес полевые модовые операторы уничтожения расположены в правой пасти произведения, а все нолевые медовые операторы рождения—в левой Например, только последнее из четырех приведенных выше расноіожений является «нормальным» по отношению кл і Iin Естественно, что свобода выбора порятка в промежуточных расчетах ограничена, поскольку временные аргументы различных операторов могут различаться и поскольку взаимодействие поля с атомом может затруднить разделение различных степенен свободы в моменты Времени, отяичные от начального Ясно, что вначале можно принять любой порядок Второй способ расположения из приведен' ных выше называют часто «антнпормальным» по отношению к aK и <jj\ его равно как н любой другой можно использовать последовательно без изменения результатов
