Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
202 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
мировать выражением
+ 2 (3-М)
k—l “ +raA
Тогда ядро соответствующего интегрального уравнения
О*
l(t) =* j иК (и) sin ut du »
при аппроксимации (3.56) будет иметь вид
1 W = T + тгррг + т s^n * 2 bhe~4W. (3.57)
Для интегрального уравнения с ядром (3.57) можно также построить решение вида (3.55), теоретически применимое при всех |х < I (X > 0), в котором Ц = VXVv2 + I — K/v.
5. Получим представления для ядра k(t) вида (3.9) и ядра l(t) вида (3.37) при больших t. Полагая u = v/t в выражении для k(t) и принимая во внимание второе асимптотическое представление (3.12), будем иметь
к
OO OO
(o=4f^(|)cos^~J
т — (т — 1) у
d и
COS V------.
V
Возвращаясь теперь к старой перемепной и вычисляя интегралы с учетом формул (2.40) гл. 2 и (3.42), найдем
к (f) ~ т (— In 111 + d*) — (т — 1) лб (t). (3.58)
Аналогичным образом для ядра l{t) получим
l{t) = 2t~l + 2n8'{t). (3.59)
Представления (3.58) и (3.59) могут быть использованы для изучения случая малых К. Именно, подставляя (3.58) в уравнение (3.11) и используя формулу (2.41) гл. 2, придем к ипте-гральному уравнению Фредгольма 2-го рода, которое может служить для определения «проникающей» части асимптотики решения задачи при малых
Ф (E) In j j + d^) с!1 — лЯ.иср (х) = л/ (х)
J
-1
(| X К I. H= -------
\ ^ г т J
Дифференцируя ото уравнение HO х, получим иптегро-дпффереи-
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
203
циальное уравнение Штаермана [3] і
j "1? dl - яXjicp' (®) = nf(x) ( M < 1). (3.60)
Аналогичным образом, подставляя представление (3.59) в (3.39), получим такое же уравнение для второй задачи
і
J -07 dl - nhf' W = -Jf(X) (M < !)• (3-61) -1
Исследованию уравнения Штаермана посвящены следующие два параграфа. Здесь лишь заметим, что при очень малых К уравнения (3.60) и (3.61) вырождаются в ранее изученное сингулярное интегральное уравнение (1.34) гл. 2. Для первой задачи такое вырождение соответствует іслучаю отсутствия покрытия, а для второй задачи — случаю глиссирования крыла по поверхности гидравлического основания бесконечной глубины1).
Схему построения полной асимптотики решения при малых К продемонстрируем на примере задачи п. 1 для случая плоского штампа (f(x)^f). Дифференцируя почленно интегральное уравнение (3.11) по х, будем иметь
I OO
jФ(I)Z(-LzijdE = 0 (IzKI), i(t) = JJidLiIsinutdu.
— 1 О
(3.62)
Заметим также, что вырожденное решение при очень малых %
согласно (3.60), (2.17) гл. 2 дается формулой
Фо(ж) = ^о(яУІ^?)-1. (3.63)'
Введем новую неизвестную функцию
1)з(а:)=ф(а:)-фо(а:)', (3.64)
где Фо(я) имеет вид (3.63). Тогда интегральное уравнение (3.62)
можно переписать следующим образом: і і
j4(?)2(Lz±)d? = - |Фо (^(Lzii) ^ (UKі). (3.65)
—і —і
'¦) Заметим, кстати, что плоская задача о глиссировании крыла по слою идеальной жждкостж конечной глубины [10] сводится к интегральному уравненжю тжпа (6.29) гл. 1 и решается в замкнутом виде (см. §§ 5, 6 гл. 3).
204 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Подставляя в правую часть (3.65) функцию ф0(ж) в форме (3.63) , используя первый интеграл (5.10) гл. 2 и третий интеграл (5.11) гл. 2, получим і
T 1 Г /f * 1 / ? — X \ гг \ f • UX т
J=~la )У»®1(-Г-)Я = -1А JT+Tsin —jO -1 0
оо
их т I и\ du
-----STtm-1) Jsin—^ Ixj т+т-
о
Далее, учитывая, что X мало, и заменяя здесь фупкцию Бесселя Jo(x) ее асимптотическим представлением при больших значениях аргумента [7], найдем
1 — ^Лі /і\ ЛТо(™ I) Tcos мі—sin -
—А- ет—уїіїТїї®-
о
(3.66)
Теперь уравнение (3.65) с правой частью лXJ, где J дается асимптотическим при малых X выражением (3.66), разобьем на систему двух интегральных уравнений (сравните с (10.2) —
(10.5) гл. 2)
оо
-Я
J 1 + H I (±_А ) dl = JiXg1 і + х
-1
X
( — 1 sS X < OO) , 1-х
’ Мгг-)1(Чг№
л Xg
X
-M
'т/1 + ?
( — оо < X 1)
при условпи
+ я|)
X
(3.67)
(3.68)
Очевидной заменой переменных оба уравнения (3.67) приводятся к одному интегральному уравнению вида
оо OO
• !'?(1:)/(* — т)с2т = Я?(*)— |^(т)/
О 2Д
'2
t + т—(0<г<оо),,
(3.69)
где функция g(t) (3.66) при t OO ведет себя как t~l/z. В последнем нетрудно убедиться, если воспользоваться леммой 2.8.
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
205
При указанном поведении функции g(t) можно показать, что решение уравнения (3.69) будет убывать при t °о не слабее, чем При ? —»- 0 решение должно возрастать как Irlji. Вспоминая еще, что ядро I(t) ведет себя как trl в нуле и на бесконечности, можем исследовать поведение интеграла в правой части (3.69) при X 0. Именно, нетрудно доказать, что этот _пнте-грал при всех t> 0 стремится к нулю не слабее, чем VXlnX. Таким образом, решая уравнение (3.69) методом последователь-пых приближений, видим, что главная часть функции ^(т) при малых X может быть найдена из уравнения
OO
— J4I' (rC) I (t — т) di = Hg (t) (0 і < оо). (3.70)
