Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
L(u) = I + S спи-п + 0{и~2JY_1) («-*• оо). (8.33)
П—1
7*
100
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Тогда при помощи интегралов (1.20)' и им подобных будем иметь A(J) = In UUi(J)+ UIZ2(J)+Z»(J), (8-34)
N
hW-'Ednt^ + Oit^), d
і= О
10
I) d20 r0, cZ30 — T1. (8.35)
Пусть радиусы сходимости рядов (8.35) равны р. Тогда все дальнейшие рассуждения, основанные на формулах (8.34), (8.35), будут по крайней мере иметь смысл при X > 2р~‘.
Заметим, что в согласии с (8.34), (8.35)
Z0(J) = In Ul[I + Z1(J)] + UU2(J)+ Js(O'- (8.36)
Как следует из (8.36), Z0 (J) ~ 6 (J) при J0 (6(J)— дельтафункция Дирака); тем не менее можно показать, что сохраняет силу теорема 2.13 при 7 = inf (а, (р — 1)/р) и лемма 2.6; может быть доказана теорема, аналогичная теореме 2.15.
Асимптотическое решение для больших % интегрального уравнения (8.7) при Z0(J) вида (8.36) будем, как и выше, искать в форме (3.3), где [17]
2JV [я/2]
Cl» (а:) = 2 2 Wnj (X)XTn In^X + 0(X~2N~11пЛЯ). (8.37)
TJ==O 3=0
Для последовательного определения функций (оni(x) получается бесконечная система соотношений типа (8.29):
N1
1
-I-
'—1
г
1-Х
dl
-I -J
«00 W Sgn (t—l)
—I I
Vi-
CO,
20
(*) = --Sr I -?=?я J [(t-l)(2dllln\t-l\ + 2d31 +
+ (Z11) M00 (t) + cZ20 sgn (J 5) W1Q (01
VT
«wo
-і
і
Л /і
cZJ,
%0 W= -jr j* 1^1L f dS j {(І - і) [2cZH InU- El+d,t+2cZSI] (O10(J) +
-I -I
dt
+ (Z20 sgn (J - i)(Oi0(J) + 3tZ2i(f- D2Sgn (J - I) Woo (J)}
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ Ъ>
101
1 -___________ 1
“SI И = - J -T=T" 2du(i - Ю CO10 (t) +
-I -1
+ rf20sgn (t — s) M2I (01 л-/=~ и т. д. (8.38)
Vi — г
Ограничимся, далее, рассмотрением частного случая f(x) = = / = const. Вычисляя последовательно квадратуры в соотношениях (8.38) и используя интегралы (2.21), (8.30), найдем
W00 (х) = N0л-1, W10 (ж) = Stn-Zdi0N0Sl (х),
w20 (х) = n_1iV0 {[du (1,5 — In 2) + d31] (I — 2ж2) +
+ 32я-««& [5а (ж) - S0]),
W21 (ж) = — я~ 1AVfu (I — 2х2), W31 (ж) = — 2n~aN0dlidi0Si (х),
W30 (х) = iV0n_3[-| dnd20S3 (ж) + [6d21 (I + 2х2) —
— 128л (ж) + [9d21 + 2d20 (du (1)5 — In 2) + d31)] Si (x) +
+ fd21 +64п-«ад (Z) j. (8.39)
Здесь введены обозначения
I OO
, С Iarcsinldl ,, ч « V U*j(x) -
S1 (х) - (g2 _ ж2) - (I - 2* ) + 2 (I + -
8у yT«iifL
=-8Zaf-if j=i
52 (ж) = (I — ж2) 2 (4/37)2’ = 2 (47а _ !)з = 0,1508,
^ U2i+2 <*>
53 (X) = - (1 - 2х2) + 144 (1 - х2) 2 (2у + 1}* (2j + з)2 (2у + 5)2 ’
J=O
(*) = J + (1-2*2) +X(I-X2)Inl^,
2
-I O^
S9 (ОЛ
VT=?'
Vifrz(X) = — 2 (1—2з?) v2j (ж) + 2 ^ ^ v2j-2 (ж),
1-х
V0 (х) = О, V2 (ж) = 4 + 2ж In yqrj- (8-40)
102
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Таким образом, для случая f{x) = f получено асимптотическое решение вида (3.3), (8.37) с точностью до членов 0(к~1). Ряды, входящие в соотношения (8.40), могут быть затабулиро-ваны по х. Как показали расчеты с погрешностью, не превосходящей 0,7%, функция Sz(x) при всех 1] может быть
заменена следующим выражением:
S2 (х) es, (0,4356 + 0,1321а:2 + 0,2494жIn [(1 - х)/(1 + ж)]} (1 - ж2).
(8.41)
Следует отметить, что, аппроксимируя таким образом функцию Sz(x), мы не меняем характера ее структуры, ибо, как нетрудно видеть, функция S2(х) имеет ВИД {/і(ж)+ /2(ж)1п [(1 — х)/ /(1 + ж)]}(1 -X2), где /і(гс) = Z1 (—ж) и f2(x) = -/21-х) — непрерывные при X <= [—I, 1] функции. Используя формулу (8.41), получим для S5 (х) следующее приближенное выражение:
St (х) as 0,3547 - 0,8463 • IOz2 + 0,3442ж4 +
+ ж (I - X2)In [(1 - х) / (1 + х)] (0,1180 + 0,03305а:2) -
- 0;4156(1 - X2)2In2 [(I - x)l(I + х)\ + QfimSl(X). (8.42)
Наконец, используя соотношения (3.3), (8.8) и (8.39)—(8.42), получим для величины N0 в случае f(x)=f формулу
N0 = я/ [cZS0 + 0,8106d2o X-1 + (dxl + d3l — 0,03287 с^го) ^~2 +
+ (1,442?! - 0,2762dudM - 0,1807d31dao - 0,024504,) Х~3 +
+ In 2к (I - dnk~* + O1ISOld1A0X-3) + О (Я,-* In2 2Х)]~\ (8.43)
4. Приведенные в пп. 1—3 асимптотические решения имеют ограниченный диапазон применимости по X; эти ограничения в основном диктуются радиусом сходимости степенных рядов, ВХОДЯЩИХ в формулы (8.4), (8.24) и (8.25), (8.34) и (8.35).
Естественно возникает мысль переразложить найденные решения в степенные ряды по новому малому параметру т, связанному с X зависимостью
X= -Ц~-(I + ait2 + а2т4 + ... + Я{Т2{) (і < оо), (8.44)
где а,- — пока произвольные постоянные. Например, формула
(8.20) примет вид
Ф (х) = ф0 (х) + фі (х, аи а2, ..., а{) т2 +
+ ф2(ж, а?, а2, ..., а{) т4+...+ qa(x, аи а2, . . ., а{) х21. (8.45)'
Если теперь в (8.45) постоянные а; найти так, чтобы
\ifu(x, а„ а2, ..., at) I < M < оо (к = 1, 2, ..., г)„ (8.46)
и если при этом окажется, что функция от т, стоящая в скобках
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
103
в выражении (8.44), будет положительной и монотонно убывающей при т <= [0, 1], то зависимость между К <= (0, °°] и те <=(0, 1) будет взаимно однозначной и формула (8.45) при увеличении і будет давать все более точные результаты в окрестности т = 1. Возвращаясь в (8.45) к К, убедимся, что формула (8.45) будет представлять приближенное решение той или иной задачи при E1 < К < °°, где близость к нулю зависит от количества удержанных в (8.45) слагаемых.