Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.34) имеет вид
Фо (X) = -Jk=^l (2.17)
л У 1 — X2
где Na — произвольная постоянная. Определим эту постоянную таким образом, чтобы (2.17) являлось решением уравнения (1.2) при f(x)=f. Подставим для этого (2.17) в (1.2) и положим затем в левой части х = 0. Здесь использовано то обстоятельство, что решение уравнения (1.34), будучи подставленным в уравнение
(1.2), даст нам вместо / (после вычисления интеграла в левой части) величину / + /о, где /о — постоянная. Итак, будем иметь і
]*[- InlEl +d]y?L== я/. (2,18)
-I Kls
Используя интегралы
_!т=?,16“я1“2’ *’ (2Л9)
из (2.18)’ найдем
N0 = jif (In 2 + d) -‘. (2.20)
Приведем здесь еще значение одного сингулярного интеграла, который получается с помощью (2.16) и будет в дальнейшем использоваться,
і __________ ( — Tix (т = 0),
Г TmVi -T2
J —---------Jt = I nQn(x) (т = 2п + 1), (2.21)
-і I IiocQn (х) (т = 2п + 2),
П
2ГІ+2 , V (2/с-!)!! 2n—2.h
X •
Qn (х) = — Х2П+2 + 2
h=О
(2/с+2)!!
Вернемся вновь к рассмотрению иптеграла типа Коши (2.1) по замкнутому контуру L (рис. 2.1). Пусть плотность его /(?)
60
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
удовлетворяет условию Гельдера при всех Jet с показателем
0 < a =? 1. Тогда, как отмечалось ранее, при z = t е L интеграл J(t) существует в смысле главного значения по Коши. Пусть теперь J+it)— предельное значение интеграла (2.1), когда z-^-t^L по любому пути изнутри, a J-(t) — соответствующее предельное значение, когда z -+ і є L по любому пути извне контура L. Установим связь между величинами J(t), J+(t) и Для этого нам
понадобится следующая [3]
Лемма 2.2. Если fit) в (2.1) удовлетворяет условию Гельдера L, то функция
¦ И = т,f* <2-22>
L
ведет себя при переходе через точку Z= t s L как функция непрерывная, т. е. она имеет определенное предельное значение при стремлении ZKic любой стороны контура L по любому пути, именно (см. (2.10))
Iim -ф (z) = "у - dx = -ф (t). (2.23)
На основании леммы имеем
^>+(t) = ^-(t) = ^(t), (2.24)
а, с другой стороны, с учетом формул (2.6) и (2.7)
г|)+(?) = J+{t) — fit), = J-(t), i|)(*) = J (I)--Jfit).
(2,25)
Из (2.24) и (2.25) найдем
J+(t) = ±f(t) + J(t), /_(*) = -{/(*) + /(*). (2.26)
Соотношения (2.26) называются формулами Сохоцкого. Заметим [1, 3], что они справедливы также для незамкнутого контура L,\ если функция fit) удовлетворяет на L (всюду, за исключением концов) условию Гельдера. При этом J+it) и J-it) понимаются как предельные значения интеграла типа Коши (2.1) при подходе
к контуру L слева или справа по любому пути (к любой его точ-
ке, не совпадающей с концами). Из формул (2.26) следует, что
¦MO+MO = 2/(*), MO-MO =/(О- (2.27)
Приступим теперь к решению сингулярного интегрального уравнения (1.34) и предположим, что /(х)єЯ“(—I, 1) '(0<С?^ 1), а ф(ж) = со (ж) (1 — хг)~'и, причем й(ї)єЯ?(—1,1) (0< <|3<;с?). Как будет показано в последующем параграфе, такое предположение обосновано. Введем в рассмотрение функцию
§ 2. РЕШЕНИЕ !ІНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.2)
61
Ф(г) комплексного переменного z, заданную интегралом типа Коши
фй = S <2-28>
-1
Выше было отмечено, что в рамках предположений относительно ф(т) интеграл (2.28) как функция z является регулярным во всей плоскости z, за исключением точек л и пии интегрирования, т. е. точек \х\ =? I. В бесконечно удаленной точке функция Ф(г) обращается в нуль Уи ©
как Izl-1.
Проведем В ПЛОСКОСТИ комплексного .------------- -I з-
переменного Z ПО ОСИ X разрез, соединяю- -/ 0\1 ^
щий точки X = ±1 (рис. 2.2). Обозначим 1
предельное значение функции Ф(г) при рИСі 2.2
стремлении точки z к границе верхнего
берега разреза через Ф+ (х) и соответственно к границе нижнего берега разреза — через Ф-(х). Пользуясь соотношениями типа (2.27), приведем сингулярное интегральное уравнение (1.34) к эквивалентному ему функциональному уравнению вида
Ф+(х)+Ф-(х)=—if (х) (Ы<1). (2.29)
Таким образом, дело сведено к определению регулярной во всей плоскости z с разрезом (рис. 2.2) функции, предельные значения которой на берегах разреза связаны линейным соотношением (2.29).
Такая задача является частным случаем более общей задачи линейного сопряжения [1, 3] (или задачи Римана — Гильберта): найти регулярную в плоскости z функцию Ф(г) с линией скачков L, граничные (предельные) значения4) слева (сверху) и справа (снизу) которой удовлетворяют условию
Ф + (t)=G(t)0-(t) + g(t) (t^Lj (2.30)
(кроме концов), где G(t) и g(t)—заданные функции, причем G(t)?= 0 всюду на L. Функция G(t) называется коэффициентом задачи линейного сопряжения, a g(t)— ее свободным членом. В рассматриваемом нами случае (2.29) имеем G(x)=—I, g{x) = = —if'(x), L— отрезок [—I, 1].
Для решения функционального уравнения (2.29) введем в рассмотрение новую аналитическую функцию
1F(Z)=TZ2- 1Ф(г). (2.31)
Заметим, что на плоскости с разрезом, соединяющим точки ж = ±1 (рис. 2.2), она будет регулярной [1, 3], если выбрать такую ветвь
•) Изнутри и извне, если коптур L — замкнутый.
