Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
і
(Аф, ф) = Л J / (ё) ф (I) С?ё,;
(8.2)
ф (х) ф (I) к dx d%.
-1-і '
Подставляя во вторую формулу (8.2) выражение к (t) вида (7.11) и изменяя затем порядок интегрирования, с учетом представления (7.16) найдем
OO
(Аф, ф) = — J К (и) IФ (и) 12du. (8.3)
— OO
Рассмотрим сначала случай, когда функция К (и) на оси Iul =? о® достигает своего минимального значения т> О и максимального значения M < Конкретные смешанные задачи такого тина изучены в [26] (§§ 5, 6 гл. I). Покажем, что интегральное уравнение (7.1), (7.11) с таким символом ядра однозначно разрешимо в классе L2 (—1, 1), если /(ж)є?а(—I, 1).
Пусть ф(г)єії(-1, 1); тогда но теореме 1.6 также Ф(и) е е Li(—°°, оо) и
2я ІФ (ж) Il2 = И Ф (и) ||l2; (8.4)
кроме того, в силу представления (8.3) и равенства (8.4) имеет
место двухсторонняя оценка
пМ I ф (ж)||?2 > (Аф, ф) > пт || ф (х) ||I2, (8.5)
Из (8.5) следует, что оператор А в рассматриваемом случае
ограничен и положительно определен в L2 (—I, 1), т. е. отобра-
1 і
(Аф, ф) = J J
46 ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
жает L2(—I, 1) на Ь2(—I, 1) взаимно однозначно. Тогда из теоремы 1.2 вытекает существование обратного ограниченного оператора, т. е. однозначная разрешимость в L2 (—1, 1) уравнения
(7.1), (7.11) с указанным символом. При этом также имеет место соотношение корректности
И ф {%) IIl2 т-11 / (х) ||l2, (8.6)
которое получается на основании (8.2), (8.5) путем следующей оценки:
™п І ф ЦІ, < (Аф, ф) < л I /JIl2 • || ф ||l2- (8.7)
Рассмотрим теперь случай (7.12). Пусть ф(і) eip(— I, I)' (I < р < 2),; тогда также ф(я) є L(—I, 1). Далее, из теорем 1.7 и 1.8 вытекает, что существует преобразование Фурье функции ф(#) вида (7.16) и функция Ф(и) ?= Lq(—°°) (q — р(р — I)-1); кроме того, Ф (и) непрерывна и поэтому исчезает на бесконечности как Iwhe, где є > q~l.
Подставляя в левую часть уравнения (7.1) выражение (7.11) и принимая во внимание ,(7.16), будем пметь
OO
Аф = 4 J Я(»)Ф (и) e~iux/Kdu. (8.8)
— оо
Покажем теперь, что оператор А действует из Lv (—1,1) в C(-RtR) (R< °°) непрерывно.-Действительно, имеет место неравенство
)1/9
=
= M1HiIl^M1IMIlp. (8.9)
Здесь учтено, что первый интеграл в правой части сходится при р>1 в силу свойств (7.12) символа ядра К(и), и принято во внимание неравенство из теоремы 1.7. Заметим еще, что функции Аф исчезают при \х\ -*¦ °°. Это следует из теоремы 1.8, если принять в расчет, что под интегралом Фурье (8.8) стоит функция К(и)Ф(и) е —оо, оо).
Далее воспользуемся некоторыми результатами работ [44,45]. Введем в рассмотрение на функциях qi(x)^LP(—I, 1) скалярное "произведение
(Ф, ?) = (Аф, г|>) =
11 оо
=* J j* ф (?) (ж) dxdl — ^- j* К (и) Ф (и) Ч?(и) du. (8.10)
-1 -1 ' ' -OO
IIAfJc <4 j К (и) IФ (и) Idu
§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ
47
При этом нужно проверить выполнимость условий г) — ж) (см. начало § 3), что, очевидно, имеет место. Далее введем норму IMI = (ф, ф) и заметим, что будут справедливы неравенство треугольника (3.1) и неравенство Коши — Буняковского (3.2). Произведем замыкание пространства Lv(—I, 1) по введенной норме, т. е. присоединим к элементам LP(—I, 1) все элементы, являющиеся пределами всех фундаментальных последовательностей из элементов ЬР(—I, 1), сходящихся по указанной норме. В результате этого получим гильбертово пространство Н(—I, 1) со скалярным произведением (8.10) и нормой
11 «о
Il Ф ||н = j* J ф (х) ф (I) к (Ц^-) dx dl = j j К (и) IФ (и) I2 du.
—1 —1 — OO
(8.11)
Пространство Н(—I, 1) шире, чем LP(—I, Ij, что вытекает из неравенства
оо . оо \2/3/ 00 V i/p
IMIh = YJЯ («)|Ф (и) Jl0(U)I^U) ( J [ВДГсЫ <
— ЭО N-OO / N-OO /
< M2 Il Ф H9 < M2 Il ф Il2v (8.12)
Здесь учтено, что r = q(q — 2)-1 (следовательно, 1<г<°°) и интеграл в правой части (8.12) от [i?(u)]r сходится; кроме того, принято во внимание неравенство из теоремы 1.7.
На основании (8.11) перепишем функциональное уравнение
(8.2) в виде
і
11Ф Цн = я J / (I) ф (I) d\. (8.13)
Назовем обобщенным решением исходного интегрального уравнения (7.1), (7.11), (7.12) всякую функцию ф(г)єН(-1, 1), которая обращает в тождество интегральное равенство (8.13).
Докажем теперь, что правая часть в (8.13) при определенных условиях, налагаемых на функцию f(x), является скалярпым произведением в пространстве Н(—I, 1). По теореме 1.1 для этого нужно показать, что опа является линейным ограниченным функционалом в Н(—I, 1), т. е. нужно показать, что имеет место перавепство
я
L
J Шф©^ -1
(8.14)
48 ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Для доказательства (8.14) введем в рассмотрение преобразование Фурье разрывной функции if(x) (Ы=^1), 0 (|ж|>1)}:
і
F(U)= j /(|) е~іиШсІІ. (8.15)
— 1
Если допустить, что функция f(x) имеет структуру типа
ftW= гЧж Pe=I-I1 Ih 0<|*<1, SWeyf-I1I)),
I X — ъ
(8.16)
то F(u) вида (8.15) будет в соответствии с теоремами 1.11 и 1.13 иметь следующую асимптотику при Iwl оо:
