Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Г sgn l Vl - S8 je д _ 2 - 2/Г^Р In 1 ~ (3.8)
Jb — % I Х I
-1
по формуле (2.36) найдем
Ф(а;)= я ^L=-(^, + 2^)+?-In (3.9)
Как видим, функция со (ж) (см. (3.3)) здесь уже имеет логариф-
мическую особенность при X = 0.
Рассмотрим еще один любопытный пример. Пусть
/(a:) = Jii + ц2ж(1пЫ— 1). (3.10)’
Тогда /'(ж) = Ji2InIa:!, и с учетом сингулярного интеграла
J *П ^ — I;—~ = — пж.іп 2 + я У { — a:2 ^y sgn х — arcsin a:j
(3.11)
по формуле (2.36) найдем
Ф(х) =—-F- - (/V0 + л(г2а:In2) — ц2 (у sgn a: — arcsin х). (3.12)
л V I — X2 V 1
Функция со (а:) здесь имеет разрыв первого рода при х = 0.
Сопоставляя приведенные два примера, наблюдаем интерсный факт: ухудшение свойств функции f (х) не обязательно влечет за собой ухудшение свойств решения сингулярного интегрального уравнения (1.34). В указанных примерах особенности у функций f (х) и со (а:) при х = 0 поменялись местами.
Без доказательства заметим, что теорема 2.1 сохраняет силу, если в окрестности точек а: = ±1
/(п+1>(ж)~( І-z2)-0 (О<0<72). (3.13)
5 В. М. Александров, Е. В. Коваленко
66
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Получим еще один более тонкий результат относительно дифференциальных свойств функции со (х). Для этого нам понадобится следующая
Лемма 2.4. Если ф (t) ^ Hn(L) (п> О, 0<а<1), где L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного переменного z, то функция Ф(г), определяемая сингулярным интегралом
фМ = 5й1^ <3'14>
L
при z = ?sL, принадлежит Hn(L), причем ч = а, если а < 1 п 7 = 1 — є, ще є — сколь угодно малое положительное число, если
OS = 1.
Доказательство леммы по существу имеется в монографиях
[1, з].
Теперь докажем теорему.
Теорема 2.2. Если /(і)єЯ“(— 1,1) (0 < а < 1), то функция ф(ж), определямая формулой (2.36), имеет структуру (3.3), где со (х) є= H^ (— I, 1), причем 7 = а, если а < 1, и у = 1 — е, если а = 1.
Для доказательства достаточно показать, что сингулярный интеграл (3.4) принадлежит классу Щ (— I, 1). Пусть f (х) есть четная функция. Перепишем (3.4), используя (2.21), следующим образом:
/W=J - IV (I) - /' (I)] dl _ nxf (1)j (315)
— 1
Заметим, что „
VT=T* [/' а) - г (і)] є щ (-1, і), (3.16)
ибо умножение на У1—|2 лишь увеличивает степень гладкости и скорость стремления к нулю выражения f'(t,)—f'(i) при подходе к точкам | = ±1.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
7*(i)= (ieL), (3.17)
L
[1/Г^ТМГ<Т)-/'(1)І (TE//), ф(Т>-10 (Т ЕІТ,
Здесь V — отрезок вещественной оси ItI^ I, L'' — его замыкание, причем такое, что контур L — гладкий (рис. 2.3).
§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1.2)
67
Заметим, что
Ф(т) є='Н%(Ь). Тогда на основании леммы 2.4 будем иметь
I*
(3.18)
(3.19)
Вспоминая теперь, что I*(t) совпадает с 1(х) на отрезке L', убедимся в справедливости теоремы для четного случая f(x).
Пусть f (х) —нечетная функция. Тогда перепишем (3.4), используя (2.21), следующим образом:
_ f/і-і'і/В-УШІ Й + я/'(1)(-Iі + у). (3.20)
Повторяя далее приведенные выше рассуждения, убедимся в справедливости теоремы и в этом случае *).
По схеме доказательства видно, что теорема 2.2 сохраняет силу, если в окрестности точек X =
= ±1 функция /' (х) ведет себя как (3.13). В общем случае при а = 0 теорема несправедлива.
Изучим ограниченные в точках х = ±1 решения интегрального уравнения (1.2). Пусть по крайней мере / (х) є Hf (— I, 1)
(0<а<1). Тогда по теореме 2.1
і
\ L' )
-1 0 I X
Рис. 2.3
co^ = S-
Nn
J /'(I)Vr 1
dl
С (-1,1). (3.21)
Следовательно, значения со (1) и со(—1) существуют и конечны. Предположим далее, что © (1) = 0. Это приводит к соотношению
No + J /ЧЮ/Щй = 0,
-1
а формула (2.36) принимает вид
____ 1 ______
/ ч 1 іЛ - Я Г -./"I + I Ґ (?> те К r+7j У 1-І S Л &
(3.22)
(3,23)
') В § 9 гл. 4 будет доказана более общая теорема, из которой, в частности, будет следовать, что если/ (х) є Я“+1(— I, 1), то ы(х) є Hin (— 1, 1).
5*
68
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Теорема 2.3. Если f(х) є Я“+1 (— I, 1) (0<ос<!1) и
/ (я) є= Я*+1 (1 - е, 1) (є > О, V2 < (J^l), а также выполнено
соотношение (3.22), то функция ф (ж), определяемая формулой
(3.23), имеет следующую структуру:
ср {x)=Y6)1 (3-24^
где CD1(X)^ Сп(—І, 1)'.
Теорема 2.4. Если /(*)efl?(- 1,1) (0<а<1) п
/(г)єЯі(1-8, 1) (є > О, V2 < р sSl), а также выполнено
соотношение (3.22)', то функция ф(ж), определяемая формулой
(3.23), имеет структуру (3.24), где (O1 (х) <= H0 (— I, 1), причем 1Y = inf (a, P — V2).
Указанные теоремы доказываются аналогично теоремам 2.1 и 2.2. Отметим также, что формулы типа (3.22) — (3.24) и теоремы, аналогичные теоремам 2.3 и 2.4, могут быть установлены и для случая со(—I) = 0, где «в (ж) имеет вид (3.21).
Предположим теперь, что одновременно ?0(1) = 0 и со(—1) = 0. Это на основании (3.21) приводит к соотношениям
N0 + f rf>ldl- = О, C = 0, (3.25)
а формула (2.36) принимает вид
. (3.26)
(S— х)
