Математическая биология развития - Аладьев В.З.
Скачать (прямая ссылка):
законов изучаемой системы. Теория катастроф дает новый взгляд и
альтернативный формализм в традиционных разделах математики и позволяет
пользоваться готовым математическим аппаратом. Фактически, здесь ее роль
та же, что и традиционная роль математики в точных науках.
Второй подход - "метафизический путь". В противоположность предыдущему он
носит умозрительно-спекулятивный характер. Он обычно ограничивается
социально-биологическими науками [см. Zeeman, 1974а, 1975, 1977; Cooke,
Zeeman, 1976; Чернавский, 1979]. В своей чистой форме он постулирует
применимость некоторой элементарной катастрофы (обычно берется простейшая
- сборка Уитни) и анализирует ситуацию в этих терминах. Конечно, такое
постулирование не является беспочвенным, хотя его основательность
довольно значительно меняется от случая к случаю.
Широкое развитие второго подхода, особенно в работах Зи-мана [Zeeman,
1977], вызвало не всегда справедливую критику [Sussmann, Zahler, 1978].
Главный недостаток состоит в том, что теория катастроф применяется к
некоторой функции, само существование которой довольно сомнительно.
Однако, на наш взгляд, если выводы теории катастроф можно проверить на
практике, то возражение Зусмана-Цалера в этом случае следует отвести (см.
также "антикритику" Гукенхаймера [Guckenheimer, 1978]).
Общая программа Тома создания теории катастроф заключается в построении
структурно устойчивых эволюционирующих во времени динамических систем,
переходящих одна в другую [Thom, 1969, 1975а, 1975b, 1977]. Эти переходы
названы Томом катастрофами, а их последовательность во времени -
морфологией процесса. Этот универсальный язык пригоден, по мнению Тома,
для описания эмбриогенеза, лингвистики, процесса мышления и т. д. Однако
развитие этой программы встретило ряд принципиальных трудностей
математического характера, связанных с открытием странных аттракторов, т.
е. аттракторов существенно
16
хаотической природы. Тем не менее для широкого класса динамических систем
- градиентноподобных динамических систем - программа Тома осуществима и
соответствующая теория, названная элементарной теорией катастроф,
полностью построена (при небольшой размерности пространства управляющих
параметров). К ее описанию мы и перейдем.
На некотором многообразии (обычно это re-мерное евклидово пространство
R") рассматривается динамическая система, т. е. система обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно
производных
X = / (х, с).
Здесь х = {хх, . . ., хп) е Rn, с = (сь . . ., сг) ЕЕ Rr и / - гладкая
(т. е. бесконечно дифференцируемая) функция. Введем также обозначение /с
(х) = / (х, с). Предполагается, что точки равновесия системы совпадают с
критическими точками функции /с, т. е. точками х0, в которых
= 0, i = l,
При изменении параметра с меняется как сама система х = }е (х), так и ее
интегральные Кривые, образующие фазовый портрет системы в фазовом
пространстве R". Если при изменении с от сх до с2 фазовый портрет нашей
системы качественно не меняется (т. е. найдется диффеоморфизм R" ->¦ R",
преобразующий один портрет в другой), то точки сг и с2 целесообразно
объединить в одну область. Тем самым область изменения параметров в
пространстве R" окажется разбитой на области, называемые фазами. В
простейшем случае их несколько и они разделяются гиперповерхностями. Мы
описали то, что называется бифуркационной диаграммой.
Как уже говорилось выше, мы ограничимся рассмотрением градиентных
динамических систем, т. е. систем вида
х = -grad V (х, с).
Здесь градиент берется по х. Знак минус указывает на то, что движение в
фазовом пространстве происходит к минимуму. Мы будем предполагать, что
это движение быстрое по сравнению с изменением параметра. В силу этого
предположения процесс достижения системой равновесия при изменении с
протекает мгновенно. Поэтому можно считать, что при меняющемся параметре
с система всегда находится в состоянии равновесия, соответствующем точке
минимума функции Vc. Обсуждение иерархии предположений в теории катастроф
имеется в статье Зимана [Zeeman, 1974Ы.
Рассмотрим теперь бифуркационную диаграмму нашей динамической системы.
Над каждой ее фазой число критических точек функций Vc (х) постоянно. При
смене фаз, т. е. переходе из одной фазы в соседнюю, критические точки
исчезают или появляются,
17
причем, как правило, парами. Это значит, что множество параметров, при
которых сливается более двух критических точек, имеет меньшую
размерность, чем множество параметров, при которых сливаются ровно две
критические точки. Множество К тех параметров, при которых происходит
смена фаз, называется множеством катастроф. В принципе его нетрудно
описать: оно состоит из таких точек с ЕЕ lRr, что в некоторой точке х
dVJdx% = = 0 при всех г = 1,. . ., п и det (d^VJdxi&Xj) = 0. Конечно, на
практике вычисление множества К может быть достаточно сложным.
Множество катастроф К играет большое значение в том случае, когда система
