Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Радиационная ширина уровней в изолированной молекуле
составляет ?3 (к) | Р |2
величину порядка -^ "^сг (см- [ 1 ] )¦ Таким образом,
найденная
радиационная ширина экситонов в одномерных кристаллах с k < kQ,
*) Именно при этом условии выполняются соотношения (5,2).
$ 5] ЭКСИТОНЫ В ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ 129
как это видно из формулы (5,8), оказывается большей, чем
соответствующая величина для изолированной молекулы, примерно
в 1 jk0d раз, В оптической области спектра 1/A0d~ 103- 104.
Следовательно, время высвечивания экситонных состояний в
одномерных идеальных молекулярных кристаллах должно быть на
несколько порядков меньше, чем это же время для изолированных
молекул.
Вычисление радиационной ширины экситонных состояний в дву-
мерных молекулярных кристаллах совершенно аналогично. В этом
случае распад экситона может сопровождаться рождением лишь
такого фотона, у которого составляющая волнового вектора в
плоскости кристалла равна волновому вектору экситона.
Обозначим эту составляющую через кц, а составляющую,
направленную перпендикулярно плоскости кристалла, через
(q=k||-)-qJ. Тогда, оче
видно, вероятность распада экситона с волновым вектором к
равна
г^(к) = ^ ? \ TV' k+V pOI'afooo-Ac
j'Q±
Поскольку в этом случае
(qP)2 k2P2 cos2 0 -\- q^P2 cos2 cp -\- 2k^q^P2 cos 0 cos q>
~qF~== '
где 0 - угол между векторами кц и Р, а ф - угол, образованный
вектором Р и нормалью к поверхности кристалла,
4я?3 (к) \ к2
Гй(к) = --| Р(к, (х) |2| 1 - соб2ф ^ (cos2 0 - соб2ф) -
2к У k{
-cos 9 cos ф - ^ (5,9)
k0 ) d2k0 У kl~ к2
при |к|<&0 и Г^(к) = 0 при | к | > k0.
При | к | ->А0 функция Гй(к) имеет особенность. Однако, даже
если положить Vkl-k2 ¦-ko, то радиационная ширина (5,9) оказы-
вается большей, чем для изолированного уровня, в -^-106 раз.
d%
В этих условиях время жизни экситона т порядка T0(tf?0)2~10-14-
10-15 т0с=;10 -10 сек- время жизни возбуждения в
изолированной
молекуле), т. е. становится сравнимым с периодом движения
электронов в кристалле. Это обстоятельство свидетельствует о
том, что экситоны с k < k0 в двумерных кристаллах, найденные
при неучете запаздывания, являются плохими состояниями
нулевого приближения.
С целью рассмотреть вопрос о радиационной ширине более точно
примем во внимание то обстоятельство, что оператор (5,3)
приводит
9 В. М. Агранович
130
ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
[ГЛ. III
не только к затуханию экситонных состояний, но также изменяет
у них закон дисперсии. Для того чтобы определить этот закон,
прибавим к (5,3) операторы свободного поля экситонов и
поперечных фотонов и так же, как это делалось в §§ 1, 2 этой
главы, произведем диагонализацию полученного гамильтониана.
Легко убедиться- в том, что соответствующие коэффициенты
перехода и и к удовлетворяют системе уравнений:
(.hqc - ef) tij (k + q±) - T (/, k + q1> jx) [ац (k) - (-
k)] = 0,
Исключая из этих уравнений коэффициенты иДq), t";(q) и г"^(-к),
находим, что уравнение, определяющее зависимость энергии
экситонов от к при учете запаздывающего взаимодействия, имеет
следующий вид:
При исследовании этого уравнения следует иметь в виду, что
величины Т определяются соотношением (5,4) лишь для длинных
волн, когда qd<^_ 1. Только в этом предельном случае величины
Т определяются матричными элементами оператора дипольного,
квадру- польного и т. д. момента элементарной ячейки
кристалла. При qd > 1 выражение (5,4) непригодно и должно
быть, строго говоря, заменено более точным выражением.
Поскольку при qd > 1 величины Т достаточно быстро убывают, мы
в дальнейших расчетах по-прежнему будем использовать
соотношение (5,4), однако в (5,11) сумму по q^ ограничим
значениями
(к) +
+ .2 ^(У' q_L + k, l1) qj-j-k-j-qjj = 0,
J > Я I
Vj (- к + q±) = и. (к + qj,
(5,10)
|qj<?0, где Чо-Ч'
Рассмотрим сначала уравнение (5,11) при W ~Е^ для одномерной
цепочки. Используя соотношения (5,7), (5,4), переходя в (5,11)
к интегралу и проводя интегрирование по углам в плоскости q,,
получаем
§ 5] ЭКСИТОНЫ В ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ
вместо (5,11) уравнение
где
?ji(k) -1?2 = л
г2 - h2k2c2
dz
1
h2c2
8(к) | P (к, ц) |2 tffi2c2
13)
(5,12)
(5,13)
Поскольку постоянная А пропорциональна квадрату матричного
элемента дипольного момента, ясно, что роль запаздывания может
быть существенной лишь для достаточно интенсивных дипольных
переходов. Если, например, положить |P|~2e- 10" см, Е ~ 5 эв,
"8 I
d~5- 10 см, то для А получаем Л ~ 4 (эв)2. Если же|Р|~гХ
X Ю~9 см, то Л~10~2 (эв)2, и т. д.
Решения уравнения (5,12) являются, вообще говоря,
комплексными:
ef = ef' /ef". В той области спектра, где | ef" | |
1, представим
величину 1 j(z - а) в следующем виде:
-^- (- /яб (z - а),
г - a z - а 4 '
где под а будем понимать
а =
Оf)2 - h2k2c2
й2с2
В первом приближении затуханием волн можно пренебречь. Тогда
уравнение для If' (k) принимает вид
Е1(к)-(?У = А\.
dz
1
k2 COS2 0 4"?T sin2 (r)
