Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
В последнем равенстве использована функция 0(т), равная
единице при т > 0 и нулю при т < 0.
Следовательно, величина
Фт/г (со, к) является фурье-
компонентой запаздывающей функции Грина
фтп(г -г', t - t'), определяемой соотношением
Ч^Лг-г'. =
= ^±([Ат(т, t)An{г', ?)-Ап{х', t')Am(г, *)}>0(*-О. (1,20)
Сравнивая теперь соотношения (1,10) и (1,18) и принимая во
внимание произвольность j (со, к), получаем
к) = -4яф^(со, к), (1,21)
откуда, в силу (1.8),
"л c2k2 , 4 пс2 . -1 , ,.
Vе0* k)' (1'22>
где
- ?2^- (1.22а)
§ П МЕТОДЫ РАСЧЕТА е0(га, к) 141
Выражение для Ортп{т - г', t - t') [см. (1,20)] записано при
калибровке с равным нулю скалярным потенциалом. Для того чтобы
перейти к произвольной калибровке, продифференцируем величину
^шп (г-r' - t-t') сначала по t, затем по t' и в полученном
соотношении перейдем к фурье-представлению. Поскольку
dd (t - t')
dt
а компоненты векторного потенциала, взятые в один и тот же
момент времени, коммутируют друг с другом, первое
дифференцирование соотношения (1,20) дает
1 д'Фтл (г - г', t - t') с dt
= ^(!4(г. t)Aa(rf, t')-An(г', t')Em(r, t)))Q(t-t').
Дифференцируя теперь это соотношение по t', получаем
1 d2^mn(t - t',t - t') _
dt dt'
i
ch
- j(l?m(T, t)En (r', t')~ En(r', t') Em (r, t)))${t-t').
(1,23)
Поскольку (см. [22])
-dAm?'-~ A"(r'. t')-An(r', t') t] = -Ап1Ьс2ЬтпЬ (г - г 0 ¦ (1.24)
то, переходя в (1,23) к фурье-компонентам, находим
ТгФяиЛ(r). k) = ?)mn(co, к), (1,25)
где Dmn(co, к) - фурье-компонента запаздывающей функции Грина
Dmn (г - г'. t-t') =
= -t)En{т', t') - En(т', t')Em(r, 0})е(^ - 04-
4я60-6(г - г')6(/- t'), (1,26)
которая уже является градиентно инвариантной. Таким образом,
r2k2 1
ej7(co, k) = ^-r)i. + 4nD7;1(co, k) (1,27)
и вычисление ei; (co, к) сводится к вычислению величин
?),у(со, к)
(Дзялошинский и Питаевский [6]).
При неучете пространственной дисперсии к->0 и
е-'(со) = ^0,.(со). (1,27а)
142 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТР11ЧЕСК.ОП ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
В качестве полной системы волновых функций, которая необходима
для нахождения шпура *)
j(Г.' t')) } , (1,28)
можно использовать функции вида Ч'д, где Wn - собственная
функция частиц кристалла Нкрх?п = WnWn, а % - волновая функция
поля фотонов. Если используется, например, кулоновская
калибровка потенциала, то полный гамильтониан системы Н - Нкр -
f- Н | -(- Нвз, где в Нкр полностью учтено мгновенное
кулоновское взаимодействие между зарядами, Н^_-гамильтониан,
отвечающий свободному полю поперечных фотонов, а Нвз описывает
взаимодействие зарядов с полем поперечных фотонов. В этом
случае функции гРп и собственные значения Wп соответствуют
кулоновским экситонам, тогда как функции X - это собственные
функции оператора /?j_. Ясно, что при использовании функций
вида Ч^д шпур (1,28) даже при Т = 0 содержит бесконечное число
членов, являющихся членами разложения по константе экситон-
фотонного взаимодействия. Несмотря на малость этой константы,
ограничиться в этом разложении несколькими первыми слагаемыми,
вообще говоря, нельзя, поскольку в окрестности резонансов учет
экситон-фотонного взаимодействия существенно изменяет спектр
нормальных волн (см. гл. III). Поэтому при нахождении Dij(г-
г', t - t') значительно удобнее использовать собственные
функции кристалла, найденные при учете запаздывания, т. е.
собственные функции оператора Н, если только таковые известны
с достаточной степенью точности.
Для экситонной области спектра эти собственные функции и
значения при неучете нелинейных процессов были найдены в гл.
III, так что для этой области спектра указанный метод
оказывается достаточно эффективным.
§ 2. Вычисление тензора диэлектрической проницаемости для
экситонной области спектра
В экситонной области спектра оператор Гамильтона кристалла
при учете поля излучения может быть представлен в следующем
виде (см. § 2 гл. III):
ЦГр(к)ср+ (к)ср(к). (2,1)
р, к
Поэтому, переходя для оператора напряженности электрического
*) Величина [А, В] равна по определению коммутатору
операторов А и В, т. е. [X В] == АВ - ВА.
г-Н
Sp*
[Ё:(Т, t), Ё
§ 2] ТЕНЗОР e(j((0, к) ДЛЯ ЭКСИТОННОЙ ОБЛАСТИ СПЕКТРА 143
поля Е [см. (2,26) гл. III] к гайзенберговскому представлению,
находим
Ё (г, 0 = е к ** Ё (г) е н ^ = 2 Sp (к) |р (к) е11кг_юр<к><] -j-
эрм. сопр.,
Р, к
(2,2)
где
п ч ^ (к)
сор(к)=^^.
При получении выражения (2,1) в гл. III затухание нормальных
волн не принималось во внимание. В этом приближении энергии Гр
(к) являются вещественными величинами.
Если, однако, частота столкновений, которые приводят к
затуханию волн, мала по сравнению с частотами сор(к), то и при
наличии затухания можно использовать выражение (2,1), только
величины efp(k) следует считать при этом комплексными:
Гр (к) = Гр (к) + /g'p (к), причем |Гр (к)| <с1^р(к)|-
Затухание нормальных волн может быть обусловлено, в частности,
взаимодействием экситонов с фонолами, дефектами кристалла и т.
д. Поэтому величины Гр(к) зависят от температуры кристалла,
