Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсия обусловлена нелокальностыо связи между 0 и Е.
Аналогично 'зависимость е/;-(со, к) от со (временная или
частотная дисперсия) обусловлена нелокальностыо связи (4,5) во
времени. Поскольку обычно собственные частоты среды со,-
попадают в рассматриваемый интервал частот со, отношение сог/со
порядка единицы и временная дисперсия, вообще говоря, велика.
Иное имеет место в случае пространственной дисперсии. Длины
волн X в оптическом диапазоне значительно превосходят
характерные размеры окрестности точки г, которая вносит
основной вклад в интеграл (4,5) (Х = Х01п, где А,0- длина волны
света с частотой со в вакууме, Х0=2лс/со, п - показатель
преломления света, возрастающий в окрестности резонанса). В
диэлектриках этот размер порядка постоянной решетки а, так что
отношение а/Х мало: а/Х-10~3. Поэтому
пространственная дисперсия, как правило, мала и ее учет
оправдан, если он приводит к качественно новым явлениям,
таким, например, как естественная оптическая активность. С
приближением частоты со к резонансу, когда в среде длина волны
X убывает, отношение а/Х увеличивается. В этом случае также
возможны новые эффекты (более подробно см. [14]).
Естественная оптическая активность, как один из эффектов
пространственной дисперсии в кристаллах, будет
рассмотрена в гл. VII.
Вычисление тензора ег;-(со, к) для кристалла,
равно как и для
любой другой конденсированной среды, является задачей
микротеории (см. гл. IV). Если же тензор ei;-(co, к) считается
известным, то уравнения поля (4,1) при малых к позволяют найти
все нормальные электромагнитные волны, а также определить для
них закон дисперсии.
Поля в нормальных электромагнитных волнах удовлетворяют
уравнениям (4,1) при отсутствии внешних токов и
зарядов (т. е. при
jext = pext = 0). В этом случае из (4,1) следует
волновое уравнение
rotrotE + i^ = 0, (4,9)
которое для плоских волн принимает вид
3) = iL [&2Е _ k (kE)]. (4,10)
Подставляя (4,7) в (4,10), получаем
(-^До, k)-A260. + AiAy)?;(co, к) = 0. (4.11)
122 ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ [ГЛ. III
Эта алгебраическая система уравнений имеет нетривиальнее
решение Е (со, к) ф 0, если детерминант системы уравнений
(4,11) равен нулю, т. е. если
zij (со, к) - А26^ + М/| = 0- (4,12)
Дисперсионное уравнение устанавливает связь между со и к - его
решения имеют вид
сог = сог(к) 2 = 1, 2 (4,13)
где индекс I отвечает различным нормальным волнам -
поляритонам. Можно вместо (4,13) использовать обратное
соотношение в виде
= (4.Н)
где показатель преломления п рассматривать как функцию со и s
= kjk. В этом случае раскрытие детерминанта (4,12) приводит к
уравнению для /г2 (со, s)
rt&ijSiSj) - ti1 Sp BU - SiSjeifitj}' +1 e/y | = 0. (4,15)
Отметим, что уравнения (4,12) и (4,15) определяют закон
дисперсии только для таких нормальных волн, в которых вектор
напряженности электрического поля не является продольным. В
противном
случае Е (со, к) = -^-?'(со, к) и, как это следует из (4,10),
индукция
@) - 0. Поскольку, с другой стороны, имеет место соотношение
(4,7), то при Е ф 0 и - 0 приходим к выводу, что уравнение
дисперсии для продольных волн имеет вид
|ег;-(со, к) | = 0. (4,16)
В случае, например, изотропной среды и при неучете
пространственной дисперсии ?г;- = 6г;-е(со), так что уравнение
(4,16) упрощается:
е (со) = 0. (4,16а)
Если нормальная волна не является продольной, то в соотноше-
нии (4,7) продольную часть поля Е можно исключить (см. также
[14], § 2), выразив ее через поперечную часть поля Е. Такое
исключение возможно, поскольку для нормальных волн div^=0, т.
е. ?>s = 0. Используя (4,7), а т'акже представляя полное поле
в виде суммы поперечной Е~^ и продольной части Е11,
Е (со, к) = Е1(со, к) + Еп(со, к)
находим, что
zijsi{E^ + s;?!I) = 0
§ 41 ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД Б ТЕОРИИ ЭКСИТОНОВ 123
F II , EUSiE}
e,rtsrst
Эта процедура вместо (4,7) приводит к соотношению*)
о, к) = 6^ к) Е} (со, к), (4,17)
которое для нормальных волн эквивалентно (4,7), однако для
полей с div 3) Ф 0, в отличие от (4,7), оказывается уже
непригодным. Тензор (jl выражается через тензор ег;- следующим
образом **):
е1, Ч = V (чл - V = (4>18)
Поскольку при этом
S.E , ,. = Е .S . = О,
^ 1. Ч 1. Ч J
ясно, что тензор е. можно рассматривать как двумерный тензор,
* J
действующий в плоскости, перпендикулярной вектору s.
Перейдем поэтому к новой системе координат, направив ось z
вдоль направления s. В этой системе
координат обозначим компо
ненты тензора через ag, a, р = 1, 2. Уравнение поля (4,10),
если воспользоваться связью (4,17), принимает вид
e_L, as = пЕ^г.¦ (4,19)
Приравнивая нулю детерминант этой системы двух уравнений,
получаем уравнение дисперсии
я4 - п2(е п ej_, 22) еj_, п 22 - ?j_, 12 21 = 0, (4,20)
которое, разумеется, для волн с Е^-^=0 совершенно эквивалентно
уравнению (4,12). В § 3 гл. IV мы
покажем, что это уравнение
точно совпадает с уравнением для п2, которое было
получено в § 2
