Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
нием. Оно, как это будет показано в дальнейшем, позволяет рас-
смотреть область спектра элементарных возбуждений, которая
лежит в окрестности дипольных молекулярных переходов.
Подставляя выражения (6,8) гл. II в (1,8), для кристаллов с
центром инверсии получаем
mi = - 2 Т и. k, (1) к;К (- к) - В+ (к)] +
+ а^[Я,г(к)-В^(-к)]}, (1,10)
где
ГС/, к, ti)-/(-^)1/2?ll(k)P(k, (1.10а")
если вектор к лежит в первой бриллюэновской зоне. В противном
случае Т = 0 *). Аналогично легко убедиться в том, что вторая
часть гамильтониана взаимодействия с точностью до
несущественного постоянного слагаемого равна
ffB2^^^i^(2a+JakJ + akJa_kJ + a+ja+kJ). (1,11)
к/
Здесь со0 - так называемая "плазменная" частота колебаний:
0 4ne2No с /111ч
0)2 = тт-S, (1,11а)
о mv 4 '
где 5-число электронов в молекуле. Объединяя выражения (1,3),
(1,10), (1,11), для оператора Н1 используя выражение (6,4) гл.
II и возвращаясь к полному гамильтониану (1,2), находим
?=+2Е"(к) в*(к) в¦*(к)+2 Мс°к a j(1 + (c)o/2ftac2) - |.ik к j
- ^ т O', к, (i) [akj [/?*(-к) - В\Г (к)] +aij [5ц (к)-^ (-к)]}
+
On v4! 1
rli + Kja+-uj)- 0.12)
|.ik к j
n(j
H. k, j
ha 0
1 4~
*) В (1,10a) P (k, (i) = P0. k)i - матричный элемент
оператора дипольного момента элементарной ячейки кристалла (0
| Р | кр}.
106
ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
(ГЛ. III
При получении выражений (1,10) и (1,11) в операторе Нт были
опущены слагаемые вида "к+ь, j В^ (к) и т. д., где b -
целочисленный вектор обратной решетки. Эти слагаемые связывают
состояния экситонов, у которых, по определению, волновые
векторы к лежат в первой бриллюэновской зоне, с состояниями
коротковолновых (рентгеновских) фотонов. Несмотря на то, что
этих состояний бесконечно много, взаимодействие с ними не
приводит к появлению радиационной ширины, поскольку отвечающая
им энергия фотонов более чем в тысячу раз превосходит энергию
экситона. Указанные состояния при вычислении энергии
элементарных возбуждений могут быть учтены в рамках теории
возмущений. В первом порядке' теории возмущений вклад этих
слагаемых равен нулю. Расчет второго и следующих порядков
теории возмущений дает для длинноволновых элементарных
возбуждений с ka<^ 1 поправку к энергии порядка E^(ka)2. Что же
касается коротковолновых элементарных возбуждений с ka-1, то
для них эти поправки, да и вообще запаздывающее
взаимодействие, оказываются, как будет показано ниже, еще
менее существенными. В связи со сказанным в дальнейшем мы
рассмотрим взаимодействие экситонов с фотонами, волновые
векторы которых, как и волновые векторы экситонов, лежат в
первой зоне Бриллюэна.
§ 2. Дисперсия элементарных возбуждений и коэффициент
преломления электромагнитных волн в кристалле.
Операторы напряженности электрического и магнитного поля
Оператор Н, представленный выражением (1,12), квадратичен
относительно бозе-амплитуд a^j, a?j, В^{к) и В^ (к). Поэтому
задача определения спектра экситонов при учете запаздывания
(поляритонов) эквивалентна диагонализации выражения (1,12). В
этом выражении связаны друге другом только те бозе-амплитуды,
которые соответствуют волновым векторам к и -к. Поэтому вместо
(1,12) достаточно рассмотреть квадратичную форму
Як = ^ ^ (к) № (к) Вр (к) + Я+ (- к) Вр (_ к)] +
+ 2 ^4flR+Ay+fl-k/-k;)(1+w) +
} = 1,2
+w
/ = 1,2
~ 2 ТУ' к' ^ i + ~ +
Д, У-1, 2
-Ь(я-к; -f- aij) \Вр (к) - Вр (-к)]}. (2,1)
§ 2] ДИСПЕРСИЯ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН 107
Диагонализация этой квадратичной формы может быть осуществлена
путем перехода к новым бозе-операторам | и ?,+ (см.
Приложение):
В" (k) = 2 [|р (к) (р) + 1+ (- к) <к[г (р)],
%•= 2 [^р(к)ик/(р)+Ер+ (-ю<ку(р)]. (2,2)
В этих соотношениях величины и п v, согласно формуле (1,5)
Приложения, удовлетворяют системе уравнений *)
[Е^ (к) - ef ] ukll + S 2 Т' (У. к, ц) (ик/ + (r)-к/) = °-
[Е^ (к) + Г] х>_к(г - S 2 Т (J, к, (х) (ик; -+- t"_ky) = 0, (2 з)
(АЛс - Г) ик; - J] Т (у, к, (х) (Mk(i - t"_k(l) +(ику + t"_k/) =
0,
м-
(?*с + Ю (r)-к/ - 2и т (У. к, [X) (ик(1 - 1^_к(г) + 2^("ку + (r)_к/)
= 0
м.
и условию нормировки
2 (I (Р) I2 -1*-кц (Р) I2) + 2 (I"к/(р) I2 - I *-к/(Р) р) = 1 •
(2.3а)
ц /-1,2
В новых переменных гамильтониан кристалла**)
Я = Г0 - 2 (к) | ок/(р) Р - 2 (к) | ok|i (Р) Р +
к/p кцр
+ 2^p(k)L+(k)L(k). (2,36)
кр
Каждому индексу р отвечает ветвь новых элементарных
возбуждений (поляритонов). Сравнивая в этой системе уравнений
первое уравнение со вторым и третье с четвертым, находим
р-кц(Р) = - + (r)-k/(P)=^+^"k/; (2>4)
*) Эти же уравнения иным способом были получены в уже
упоминавшейся работе Болла и Маклахлана [16].
**) В дальнейшем постоянное слагаемое в операторе Н, равное
энергии основного состояния кристалла, найденной при учете
запаздывания, выписывать в выражении для R не будем. Отметим в
этой связи работу Мавро- яниса [20], в которой содержится
более подробный анализ влияния запаздывающего взаимодействия
на энергию основного состояния кристалла.
108
экситоны ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
