Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае гамильтониан системы имеет вид Н-\-Нст, где H — гамильтониан тела и излучения, а
Н" — — J* j"(r, f)A (г) dr.
Обозначая операторы в присутствии стороннего поля индексом «ст», будем иметь (сохранив для операторов без стороннего поля обозначения без индексов):
А" (г, f) = ен А (г) е-« (я+я").
Далее, как мы это делали в гл. II, представим е-<'(я+яст) в виде
е-и (й+н") = e-itks„(t).
Если сторонние ТОКИ удовлетворяют условию j" (t-+— CX))-> —>0, to Sct (0 имеет вид (ср. гл. II)
f ' 1
Sct (0 = Tt exp \ _ і J я" (Г) dt' .
I -OO J
Среднее значение оператора вектор-потенциала в присутствии сторонних токов примет теперь вид
(Дст (Г, о) = (S« (t) А (г, t) Sct (()).
Разлагая Sct в ряд по Hcr и удерживая члены первого порядка по J", получим:
t
(AT (г. t)) = -t f dt' f dr'jV(r', t')({Ak(r', t') Ai (r, t)-
— CO
— At(r, t)Ak(r', t')}). (28.16)
Эту величину можно выразить через введенную нами запаздывающую функцию электромагнитного поля Dik. Согласно определению (28.8), имеем:
оо
(А? (г, *> = - / dt' f dr'Dlk (r, r'-, t -1') JV (r', t'). 332 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
Переходя в этом соотношении к компонентам Фурье по времени, получим окончательно:
(А?(Г, «.))=-/ dr'D% (г, Г'; (О) Jf (г', со). (28.17)
Сравнивая выражения (28.14) и (28.17), мы убеждаемся, что ввиду произвольности /т, Dfk совпадает с введенной нами гриновской функцией уравнения (28.13) Dik. Мы приходим, таким образом, к выводу, что и Dfk удовлетворяет уравнению (28.15) (Дзялошинский и Питаевский [46]). Свойство аналитичности функции Dfk находится, разумеется, в полном согласии с аналитическими свойствами е(со).
Уравнение для 25^(%) получается из (28.13), если в по-г следнем заменить со на г | ton |:
[є (г, і К 1)(0? + rot(m rot JE,* (г, г' \ шя) =
= — 4u8(r — г')Ьік. (28.18)
Входящая сюда диэлектрическая постоянная при мнимом значении частоты связана простым соотношением с мнимой частью S((о) при вещественных частотах s"((o) (см., например, [45], § 58):
СО
e(i I(Oj)= 1+1 f Ldш. (28.19)
л '> Ь) + <л„ U п
Поскольку всегда в" > 0, то из (28.19) видно, что s(('|coJ) является вещественной, положительной, монотонно убывающей функцией.
Решая уравнения (28.14) или (28.18), мы выразим, таким образом, гриновские функции электромагнитного поля через мнимую часть диэлектрической постоянной. В случае неоднородных сред это представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. В последующих параграфах мы рассмотрим частный случай слоистых сред, в которых эта задача может быть решена до конца.
Обратимся к случаю однородной среды, когда є не зависит от координат. Поскольку теперь Dr, © зависят только § 28] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ в поглощ. СРЕДЕ 333
от разности г — г', то, переходя в (28.15) к компонентам Фурье, будем иметь
[((А (о>) —A2) SilH-AiAlJDS (ft, (О) =4TZbik. (28.20)
Это уравнение определяет Dr при калибровке с равным нулю скалярным потенциалом. Чтобы найти Dr при произвольной калибровке, вычислим, пользуясь (28.20), функцию DEik = w Dfk, где Dru—запаздывающая функция при калибровке ср = 0. Определенная таким образом величина является уже градиентно-инвариантной, поскольку она отличается от запаздывающей функции, составленной из компонент операторов напряженности электрического поля, на постоянное слагаемое 4Tibik. Функция Dik удовлетворяет уравнению
Kffl2S(O))-As) SilH-AiAt] D^(ft. 0)) = 4^(0? (28.21)
и связана с функцией D% в произвольной калибровке очевидным соотношением (ср. с (28.2))
Dfk = W2Dfk — WkiDok — ^kkDfo + AiA4Doo (28.22)
(здесь и далее Doo, Dfo, Dfk обозначают временные, смешанные и пространственные компоненты D^ в произвольной калибровке). Из соображений симметрии вектор Dfo должен быть направлен по А — единственному вектору, входящему в (28.21) и (28.22):
Dfo = Dot = dki\ (28.23)
по той же причине
Dfk = Ciblk^bkikk. (28.24)
Подставляя (28.22)-(28.24) в (28.21), мы получим два уравнения, определяющих Doo. a, b, d:
а (г (со) о)2 — А2) = 4тс,
/2 R ^ (28-25)
a H- в ((о) (<о7> H- Doo — 2u)d) = 0.
Итак, мы видим, что в однородном случае D% определена с точностью только до двух произвольных функций, в отличие от четырех функций в случае произвольной неоднородной среды. 334 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
Приведем теперь формулы для некоторых частных случаев. Положим d = b = 0. Тогда
nR _ 4-Khik я _ 4к
u'k — . .2-г2 > uoo
? (со) Ш2— ?2' E (со) (? (со) ц2 — к2)'
(28.26а)
Dfo=O. Случаю ср = 0 соответствует:
=.(«,)?-* Doo= Dfo= 0. (28.266)
Наконец, при так называемой поперечной калибровке (diVi4=0) имеем:
ля _ 4z и _ UlUiX
и,к~- г (,о) 0)2 — k2 к2)'
V (28.26В)
ПД _ 4л „у?
D/o 0.
Формулы для температурной гриновской функции © получаются из (28.26) заменой и)->/|шя|:
4?
(28.27а)
I "1)мп/ (28.276)
(28.27в)
Є('К|К + А \ eC
=---^-2 {ЬШ - Цг)
В ряде задач может оказаться полезной обычная временная гриновская функция электромагнитного поля, определяемая как
