Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
"(Si + р) (S2 +Р)
X
л = O 1
хехр X
^ F\ с г 3/ J 1 L(S1-PE1Zs3)(S2-Ps2Zei)
Xexp^z/^-l]"1}, (31.13)
где
Si-=YhIh-1
x = V 1 +P2
2-rtnT h
a ?j, S2- ез — функции мнимой частоты г'іол (е = є (iwn)). Эта формула для S3 = 1, т. е. для случая тел, разделенных пустой щелью, была впервые получена Лифшицем [49] другим способом, без использования методов квантовой теории поля.
Общая формула (31.13) очень сложна. Она, однако, может быть существенно упрощена в результате того, что § 31] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 353
влияние температуры на силу взаимодействия тел оказывается обычно совершенно несущественным').
Дело в том, что благодаря наличию экспоненциальных величин в подынтегральных выражениях в (31.13) главную роль в сумме играют лишь те члены, для которых шп — c?, или п — chjlT. В случае ITjch существенными будут,
таким образом, большие значения п и в (4.13) можно перейти от суммирования к интегрированию по dn = (A^itT) йш. При этом температура в явном виде в формулу не входит и мы получаем следующий результат (є = є (/<•>)):
OO со
'w-w / "• / " ^"H [ I; - g ?-;»'х
О 1
X exp (-ggu I YT^1 -1 Ti1+Г ++X V С г 3/ J 1 L(S1-PZjt3)(S2-PZ2Iea)^
Xexp(^lVT3)- і]"'}. (31.14)
Формула (31.14) все еще сложна. Она допускает дальнейшее существенное упрощение в двух важных предельных случаях.
Остановимся сначала на предельном случае «малых» расстояний, под которыми мы понимаем расстояния, малые по сравнению с длинами волн X0, характерными для спектров поглощения данных тел. Температуры, о которых может идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с играющими здесь роль йш (например, в видимой области спектра), поэтому неравенство Tlfhc<^\ заведомо выполнено.
Благодаря наличию экспоненциального множителя
ехр (2рші V Єз/с)
в знаменателях подынтегрального выражения основную роль при интегрировании по р играют такие значения р, что рші/с—1. При этом р~^> 1, и поэтому при определении главных членов МОЖНО ПОЛОЖИТЬ S1WS2W р. В этом приближении первое слагаемое в фигурных скобках в (31.14)
') Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от температурной зависимости, связанной просто с зависимостью самой диэлектрической проницаемости от температуры. 354 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
обратится в нуль. Второй же член, после введения переменной интегрирования х = 21рш V^e3/c, дает:
OO со
О О
(нижний предел интегрирования по х заменен в этом же приближении нулем). Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной кубу расстояний, чего, впрочем, и следовало ожидать в соответствии с обычными законами ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами. Функции е(гш)— 1 монотонно убывают с увеличением и, стремясь к нулю. Поэтому значения to, начиная с некоторого w ^— w0, перестают вносить существенный вклад в интеграл; условие малости I означает, что должно быть I с/ш0.
Перейдем к противоположному предельному случаю «больших» расстояний, При этом, однако, будем
считать, что расстояния все же не столь велики, чтобы нарушилось неравенство lTjhc<^ 1. В общей формуле (31.14) вводим новую переменную интегрирования X = 2р1ш/с; в качестве же второй переменной оставляем не ш (как выше), а р:
СО 00
F Ьс Г А /' и п г'/> / Г (^i + Р) + P) X УГ3 .Г1 ,
F= 3MFJ dX J dpV 4 Є ~ 1J +
о і
і r(si+p?i/?3)(s2-f РЧІЧ) і]""1},
^[(S1-Pi1^3) (S2-рі2/е3) J )'
Благодаря наличию exp (х V^e3) в знаменателях в интеграле
по X играют роль значения х яь 1/]/е3 <; 1, а поскольку P^ I, то аргумент функций ? при больших I близок к нулю во всей существенной области значений переменных. В соответствии с этим можно заменить S1, е2, S3 просто их значениями при ш = 0, т. е. электростатическими диэлектриче- § 31] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
355
скими постоянными. Заменив после ЭТОГО X—>х/У S30, получим окончательно следующий результат:
со со
F = * fdx + if1 +
32тiWfei0J J yP2Xl(Sxa-P)(Sw-P) J
, Г (Sit, + P?lo/?3o) (S20 + PS2o/?3o) _ j
L (Sio-PeIoZsSo) (? — Р*гоІЧо) '.O = /" -ї-1+^2' - 1+Р2.
где s10, s20, е30—электростатические значения диэлектрической проницаемости.
Остановимся теперь на случае высоких температур. При lT/hc~^>l из всех членов суммы (31.13) надо сохранить лишь первый. Положить, однако, в нем сразу п = 0 нельзя ввиду возникающей при ЭТОМ неопределенности (множитель ID3 обращается в нуль, но интеграл по р расходится). Это затруднение можно обойти, введя сначала вместо р новую переменную интегрирования х = 2ршп1 T^s30/с (в результате чего множитель и3 исчезает). Положив затем w„ = 0,
п ) п
получим:
со
F = ^hr f X2 Г + ""! ^2"+ "°i ^ - 1 Г'dx¦ (31-17) 1 GnlsJ L (ею — ?зо) (?20 — езо) J
о
Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы взаимодействия замедляется и снова происходит по закону Z-3 с коэффициентом, зависящим от температуры и от электростатического значения диэлектрических прони-цаемостей.
2. Силы взаимодействия между атомами в растворах.
