Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') В § 15 мы видели, что число топологически эквивалентных диаграмм л-го порядка равно (п—1)!, что и приводило к появлению множителя 1 In (\jn = (п — 1 )!/я!). В нашем случае, когда й ш = //? + Й% (см. § 29), коэффициент, возникающий от разложения экспоненты, равен 1/Л(2гп)\, где, т— число фотонных линий, а I — число вершин, связанных с Подсчет, аналогичный сделанному в § 15, показывает, что число топологически эквивалентных диаграмм равно H (2т— 1)!, откуда и следует приведенное в тексте утверждение. 342 электромагнитное излучение в поглощающей среде |гл. vi
Последовательности диаграмм рис. 83 отвечает следующий ряд для свободной энергии F:
оо п
F=F0-J S { J Stik Cv r^ (г2 - rV %) X
/J=-CO
X drx dr2 + jJ Xik Cv гъ «°„) W C2 - Г3; шя) X X ^TгР (Г3, r4; (On) (г4 — T1) ^r1 rfr2 rfr3 й?г4 + ...
•¦¦ +ъ J St ik Cv г2; <¦>„) (г2 - г3; («„)...
• ¦ • Stqr Cvrn — l' r2m> (Г2т ~ rOdrI ¦ • • rf^m +•••}'
(30.1)
где F0—свободная энергия тела (в F0 включены все поправки, связанные с короткодействующим силами).
Ряд (30.1) непосредственно не суммируется. Вместо свободной энергии мы определим дополнительное давление (точнее, дополнительный тензор натяжений), возникающее за счет взаимодействия вещества с длинноволновым электромагнитным полем. Для этого представим себе, что тело подвергнуто некоторой малой деформации с вектором смещения и (г). При Stom изменение свободной энергии $F равно
— JfudV, где/—действующая на единицу объема при деформации тела сила. Соответствующее изменение F0 есть
ZF0= f ugrad р0 dV,
где р0 (р, Т) — давление без учета поправок при заданных плотности р и температуре.
При указанном смещении в ряде (30.1) будет меняться только поляризационный оператор, поскольку только он зависит от свойств среды. Именно (см. (29.3)),
bStik Cv Г2< «>*) = -L (rI — r2) ^ Cv І І Шп I ) • § 30] силы BAH-дер-вДальса B неоднородном диэлектрике 343
При варьировании (30.1) коэффициенты 1 /т, сократятся и мы получим:
т
IF = IF0--+ V U2ttJ с1гЫ(г, 1\и„\)Х
/z=-co
X { 25/? (г - г; (о J + J (г - г,; (о J Хы Ci- г2; ш J X X W (г2 - г; (о„) ^r1 dr2 + f 25? (г - г,; ш J Stki X
X Cp ^2; <¦>„) C2—'s; w«) Ca- '4; X
' X Vqliri-H (0Jrfr1 . .. dr4+ . . . J.
Ряд в фигурных скобках есть не что иное, как ряд для гриновской функции длинноволновых фотонов 25, соответствующий последовательности диаграмм 1, 2, 3 рис. 82. Поэтому
ю Г
IF = IF0--^l 2 "Ч/ wJ8sC- < I mJ
л= -со
Вспоминая, что 25 есть четная функция <ол, получим окончательно:
со
Sf = Sf0 -X J ®.. (r> г; wj Ss (г, тп)dr. (30.2)
л = о
Штрих у знака суммы означает, что член с п =O берется с половинным весом. Напомним, что и>п = 2пъТ. Вариация Ss связана со смещением и формулой !)
Ss = — и grad S — р div а.
') Изменение ? в данной точке состоит из двух частей. Первая часть связана с переносом г вместе с веществом:
В,е = є (г — и) — E (г) = — «grad ?,
а вторая — с изменением плотности при деформации:
V = ^8P =P diva. 344 электромагнитное излучение в поглощ.МОІЦей среде [гл. vl
Подставляя это в (30.2) и проводя интегрирование по частям, получим выражение для /:
со
/= — grad P0 — 4^ S' (r' п w^ grad г (г' шп
п — 0
OO
+і Г^rad [®«^ ^р iiiSrai-] • ^30-3)
л = 0
Эта формула позволяет без труда вычислить добавку к химическому потенциалу тела. Для этого заметим, что при механическом равновесии /=0. Приравняв выражение (30.3) нулю и учтя, что при постоянной температуре имеют место соотношения
grad г (р, Т) = grad р, dp0(p, Г) = р (р, Т),
где р,0 — невозмущенный химический потенциал, отнесенный к единице массы, получим после простого преобразования
- р grad j ^0 (р, Т) - X J]' 0? (г, г; сол) j = 0. (30.4)
Как известно, условием механического равновесия всякого неоднородного тела является постоянство вдоль тела химического потенциала. Поэтому из (30.4) сразу ясно, что
р (р, Т) = (р, Т) - X % .. (г, г; «,„) ^. (30.5)
п
Перейдем теперь к вычислению тензора натяжений. Для этого нужно привести выражение для силы / (30.3) к виду
(30.6)
Предварительно введем, помимо гриновской функции ?)/ft(r, ґ; шп), две другие функции:
®f* (Г, г'\ wn) = -W2n (г, r'\ (0„),
r'\ (on)=rot„roUmSDte (г, г'; <оя),
составленные из операторов электрического и магнитного полей по тем же правилам, что и 3) из операторов вектор-потенциала. § 30] СИЛЫ BAH-ДЕР-вДАЛЬСА B НЕОДНОРОДНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ 345
Перепишем выражение для силы в новых обозначениях:
со
/<• = - Ж7+S' [Е с- Ч> С- ^ ~
г; К)]-
dp
СО
S' Є (Г, Шл) Jr ЪЕкк (г, г; С«л). (30.8)
__T^
~ 4тс
п = 0
Нам осталось, следовательно, преобразовать только последний член в (30.8). Запишем его (отвлекаясь от суммирования и множителя 774тс) в виде
г со 4rt (r' r'}+s (r) ^7 (г>п' (30-9)
имея в виду положить г = ґ в конце вычислений.
Проделывая, далее, очевидные преобразования, получим для (30.9)
-Jr S (Ґ) Vfk (г, /•')'+¦ S (f ) (fcVUr. г')- J-tSifk(г, г')\ 4-
С/JC \ і k /
+ є (г) ( Jr (г, О - -^7- 3)f,; (Г, /"') \ . (30.10) \ dxI dxk I
