Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
нечность. Таким образом, нерегулярная часть в обратной гриновской функции вблизи Pc и ес имеет ВИД
a Vvc ^P — As.
Поскольку точка \р\=рс и s=sc по предположению есть точка спектра, то при Ap = O и As = O функция G_1(p) должна обращаться в нуль, и, следовательно, при малых As и Ар регулярная часть О-1 (р) должна иметь вид kp-\-bx As. Окончательно
G'1 (р) = А'1 [а А/? + As + b Vvc Ap-As]. Энергия возбуждения определяется уравнением
О-1 (р) = 0. (26.16)
Решая формально это уравнение, получим два корня:
Дєі,2 = — abp — bL ± ab2 bp+ bL+V1Vc ap,
из которых надо выбрать As1 со знаком «плюс» перед корнем, чтобы As—>-0 при Ap->0. Разлагая подкоренное выражение вблизи порога при малых Ар, получим:
s~ sc+Vc (|рI - рс) -{^р^)2 (Ар)2.
Подставляя это выражение в (26.16), видим, что для того, чтобы уравнение (26.16) имело решение при малых и отрицательных Ap (перед порогом), необходимо, чтобы выполнялось условие
При |р| > Pc, когда a Ap + As и b Vvc^P — Де оба положительны, уравнение вообще не имеет решений — ни действительных, ни комплексных. Таким образом, в рассматриваемом случае кривая энергетического спектра не может быть продолжена за пороговую точку и оканчивается в ней с наклоном, равным vc.
5. Распад на два возбуждения, вылетающих под углом друг к другу. И в этом случае при интегрированиях существенна область тех значений \q\, с которыми рождаются 316 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
возбуждения вблизи пороговой точки. В этой области гриновские функции по тем же причинам, что и в предыдущем случае, имеют свой обычный вид (26.4). Однако теперь уже нельзя утверждать, что вершина Г конечна при в = вс.
Для начала рассмотрим, как и выше, одну из петель на рис. 81. Величины, стоящие в вершинах петли, не содержат, согласно их определению, опасных интегрирований. Поэтому относительно них естественно предположить, что эти величины остаются конечными в пороговой точке. Рассмотрим, как обычно, интегрирование по области значений ш' и q, близких к тем значениям, с которыми рождаются возбуждения вблизи порога. Особенности такой петли сводятся к особенностям интеграла
/
dq
* (ч) +? (р — q) — ®'
в котором для s(q) и е(р— q) можно воспользоваться разложением (26.2) e(q) вблизи ротонной части спектра (напоминаем, что случай б соответствует распаду на два ротона с импульсами, равными по величине р0 и направленными под
некоторым конечным углом 0Q друг К другу, COS-^ = TT-2-).
После подстановки (26.2) предыдущее выражение преобразуется к виду
dq
/
2А И- I (lgl-^)2 I (Ig-Pl-Io)2 2т* 2т*
(26.17)
Перейдем к цилиндрическим координатам q'z, q', ср по формулам (ось Z вдоль вектора р)\
Iz= P0cosY+^' <7* = (Posiny+<7p)costP.
<7у = (/? sinl+^) sin (26.18)
Подставляя (26.18) в (26.17) и пренебрегая высшими степенями q'z и q' получаем:
J
dqt dqz
§ 26] свойства спектра вблизи точки окончания 317
В последнем выражении удобно ввести полярные координаты гиф:
1 / • en 1 , 0О . ,
¦ ___ q sin — = /"cos ф, .._ q cos — = a Sia ф.
Ym* 4P 2 Y Ym* Hz 2 Y
В результате найдем:
/
г dr
2Д — м + г2
Со1п(2Д— ш).
Таким образом, каждая петля приводит к большому члену In 2Д— ш, зависящему только от частоты внешнего конца ш. Зафиксируем некоторую петлю; совокупность всех петель слева и справа от нее представляет собой, согласно рис. 80, а и уравнению (26.7), точную трехчастичную вершину Г. Таким образом, главный член в правой части уравнения (26.6) при малых 2Д— ш имеет вид
Г2(Р. Р — <7о. ?о)1п(2Д —«0. (26.19)
где Q0— критическое значение вектора Q— импульса ротона, образующегося при распаде в пороговой точке.
Для определения Г (р, р — q, q) в окрестности Q— q0 можно решать уравнение (26.7). Проще, однако, непосредственно просуммировать главные члены ряда, которому это уравнение соответствует, воспользовавшись упомянутым выше обстоятельством, что главный член в каждой петле зависит только от частоты ш внешнего конца и одинаков для каждой петли. Формально рассматриваемый ряд есть геометрическая прогрессия, сумма которой имеет вид
р
Г (р, р — q0, q0) со-Т2А--
Подставляя это выражение для вершины Г(р, р—q0, q0) в (26.19), мы видим, что, согласно уравнению (26.6), основной нерегулярный член в функции G-1 (р) вблизи порога есть
318 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
Окончательно, учитывая, что по предположению 0~г (рс)=0. находим:
"і і я
\р\ — Pc-
In
Уравнение
(^)J
(26.20)
О'1 (р) = 0
дает в этом случае для кривой энергетического спектра следующее выражение при |р | < рс\
є(р) = 2Д — ае рс~'р 1
(экспоненциальная малость величины е(р)—2Д позволила нам пренебречь в разложении (26.20) регулярной части О-1 (р) степенями Де). Таким образом, и в этом случае кривая є(р) оканчивается в точке \р\=рс, причем она имеет в этой точке горизонтальную касательную бесконечного порядка.
Отметим, что во всех рассмотренных случаях гриновская функция имеет при CD=Sc, \р I = рс точку ветвления.
