Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Напишем эффективный гамильтониан взаимодействия электронов между собой в представлении вторичного квантования следующим образом:
Наличие этих факторов означает, что во взаимодействии участвуют только электроны с энергиями в узком слое толщиной 2(Ud вблизи поверхности Ферми (<uD<i^eF). Ниже мы часто будем записывать этот гамильтониан через опера-
Pi+рз=р>+Pt
где \ < 0, a Op — факторы обрезания:
II, І є (р) — г р I < ш0,
і 0, |e(p) — sf| > (U0. § 33] ФЕНОМЕН КУПЕРА
367
торы (]>t (г) и фр" (г) в координатном представлении
НШ = Y J ^ W С) % (О Ф. С")dr' (32.3)
подразумевая при этом, конечно, что значения четырех аргументов ф-операторов в (32.3) на самом деле несколько различаются. Последнее связано с присутствием в выражении (32.2) для гамильтониана факторов 0 Точнее было бы написать вместо (32.3) следующее выражение:
Htnt =4 / ff ff Hr-S1) 0 С - S2) 9 (г-S3) 9 (r-Ь) X XC(S1)^+(S2)MS3)Ш^! ••• (32.4)
где 9 (я) есть фурье-обращение
0W = W,/ (32.5)
Легко проверить, переходом к фурье-представлению, что функции 9 (л:) обладают 8-функционным свойством:
fO(x-y)f(y)dy = f(x),
если функция /(х) имеет отличные от нуля компоненты Фурье /р для импульсов р только вблизи поверхности Ферми. В излагаемой ниже теории мы будем иметь дело именно с такими функциями. В этом смысле и следует понимать выражение (32.3).
§ 33. Феномен Купера. Неустойчивость основного состояния системы невзаимодействующих ферми-частиц относительно сколь угодно слабого притяжения между частицами
1. Уравнение для вершинной части. Рассмотрим свойства системы с взаимодействием (32.3). Для этого обратимся к изучению вершинной части Fap s Qp1, P2', P3' Pd при абсолютном нуле. Напишем ряд теории возмущений для этой величины. В первом приближении вершинная часть есть:
* ад»-8AP- (33.1) 368
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Диаграммы, соответствующие первым членам ряда теории возмущений, изображены на рис. 88. Как мы знаем, с диаграммами а) и в) связаны особенности в вершинной части «нуль-звукового» типа, т. е. эти особенности существенны при малых передачах импульса. Диаграммы вида б) связаны с особенностями в Гар_ .J8 (pv р2; р3, р4) при малых значениях суммарного 4-импульса q = px-\-p2. Исследуем более подробно последний случай. Используя конкретные свойства рассматриваемой модели, мы сможем получить более детальные сведения о вершинной части в области малых q по сравнению с общим результатом (20.8).
в А /у Рз Р, Рг
KIX KIX KIX
Ps Pt Pe Р. Р< Ps
aj 6J Bj
Рис. 88.
Матричный элемент для диаграммы рис. 88, б равен
Х2 wy А* - V./ d"k 0 (A) 0 u ~
где q={u>0, q\ = {(o, -)-ш2- Pi-5TPi)- Подставляя сюда выражения для гриновских функций и интегрируя по частотам, получим:
X2 Г dk
S 5а35рт) J Мо — E0(к) — t0(q — k) + 2|Х + H
х» Г dk { '
~(aO» (bCihs-K^f) J <о0 — «0 (А) — е0 (er — ft) + — /a
(s0(a) < fx, s0(q — k) < [x).
В модели, о которой идет речь, взаимодействуют только электроны в узкой области энергий вблизи энергии Ферми s^c^fx. Поэтому в интегралах (33.2) интегрирование по k ограничено условиями |e0(ft)—[х|, |s0(^ — k) — [х | < <uD. Полагая ш0, \q\v u)D, перейдем обычным образом к интегрированию по ? = V (jftj — р0). Пренебрегая также в интегралах § 33] ФЕНОМЕН КУПЕРА 369
изменением верхнего предела на величины порядка u>0, \q\v, преобразуем выражение (33.2) к следующему виду:
ад»- w/ & X
і
X
-Mx
0+2z+v\q\x — ib ^ 21 -j- v\q\ х—«„—/5j
о
(где x = cos9, 6 —угол между направлением векторов q и k). Оставшиеся интегрирования выполняются элементарно. Выбирая ветви логарифмов из условия, что интеграл от первого" члена в квадратной скобке положителен при и>0 > 0, а от второго — при ш0 < 0, получим для изучаемой диаграммы следующее выражение:
I2Inpa Г 1 2ш — /5
2я2 V ay ^PY'[/ і 2 Oi0-I-Vlql-ІЬ
1 2« — І5
+ -о1" °
2 —W0 -f V I q I — г'5
+ +1n q '-mo^l. (33.3)
1 2v\q\\ <s>a-{-v\q\—ib 1 — «0 — ib /J v >
Главный член этого выражения при малых ш0 и v\q\ имеет вид
-^2 ^ (8«А* - K-At) In .
Поэтому при (uD^>(u0, v\q\ малость константы взаимодействия X может быть компенсирована большой величиной логарифма, в результате чего этот член становится того же порядка, что и первый член теории возмущений (33.1). Таким образом, для того чтобы найти вершинную часть в окрестил
ности малых и v OrI, когда Xln7—Ц—гг~1, надлежит, и 11 (®о ,v\qiy
как и в гл. IV, суммировать совокупность главных членов
ряда теории возмущений. 370
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
С этой целью напишем уравнение для вершинкой части в форме, в которой выделены члены, приводящие к особенностям Га?,.J8O1, P2; Pz, рА) при малых q = px-\-p2.
Ръ Pv />4) = Г«э.т*(А. Ръ Рг- Pi) + + 2(2? / ?1 k,q-k)G (к) О (q - k) X
7-А; /?, Pi)d*k. (33.4)
В этом уравнении Га?> 8 (P1, р2, рл, р4) есть сумма всех матричных элементов, диаграммы которых неприводимы в интересующем нас смысле, т. е. не могут быть рассечены на две части, содержащие одна — только входящие, другая —
