Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Вектор, заключенный в фигурных скобках в равенстве (17.30), можно обозначить символом N, так что гамильтониан Ж\ запишется в виде
Ж\ = 2?Yn^ {г"3) (N • I). (17.31)
Это эквивалентно взаимодействию
- Ynft(He-I),
где
H,= -2?(r-3)N (17.32)
представляет собой магнитное поле, создаваемое электроном на ядре.
§ 3. Другой способ вывода гамильтониана магнитного сверхтонкого взаимодействия
В нашем выводе гамильтониана (17.30) имеется слабое место, а именно утверждение о том, что первый член равенства (17.29), gs?{(s.VMfi-V) —Va(S-Jui)V2}(l/r), обращается в нуль гл, 17. сверхтонкая структура
127
в случае s-электрона, тогда как второй член, —(2gs?/3)(sX X и0^20/г)> —нет- Это утверждение основано на том, что интегрирование по углам выполняется до интегрирования по расстоянию. Если бы нам пришлось изменить порядок интегрирования, то мы получили бы расходящийся результат. Вывод, основанный на релятивистском уравнении Дирака, лишен этого недостатка.
При наличии магнитного поля уравнение Дирака записывается в виде
{са - (р + у А) + ?mc2 -ev}y = (W + тс2) V. (17.33)
В этом уравнении символом а обозначены три четырехрядные матрицы Дирака аи «2, ОД ? означает четвертую матрицу Дирака (не смешивать с магнетоном Бора!); W — кинетическая энергия электрона, xF — четырехкомпонентный спинор, представляющий собой в теории Дирака электронную волновую функцию.
Спинор xF можно записать в виде где ср и % — два двух-
компонентных спинора, которые обычно называют большой и малой компонентами дираковской волновой функции. Если пренебречь величиной еа-А, являющейся малым возмущением, то, как известно, структура матриц аг- и ? позволяет переписать уравнение (17.33) в виде
c(o-p)x = (W + eV)q>,
c(o-p)<v = (W + 2tnc2 + eV)x, (17,34)
где а — набор трех матриц Паули. Пренебрегая величиной W + eV по сравнению с 2тс2, получаем
ХЙІ(»'Р)Ч>. (17.35)
Мы можем рассматривать взаимодействие е(а-А) с магнитным полем как возмущение и приступить к вычислению его среднего значения
OF \е (a . A)I xF) = (ф Ie (a . А)| Х> + Ie(а. А) |Ф> «
~ ^ <ф Kor' ' Р) + (а' PHor' А)1 Ф>- (17-36)
Пользуясь соотношениями коммутации для компонент <т, находим, что выражение (17.36) может быть записано в виде
і5г<ФІ(Р- A) + (A.p) + /or.(AXp + P + A)|q>>, (17.37)
а согласно соотношению р = (й//) V, получаем, что /(АХр + рХ A) = ArotA 128 -
часть iii. теоретический обзор
и, следовательно,
(xF \е(а • A) IW) = (ф I-^r«р• А) + (А.р)} + ?a • rot А | Ф), (17.38)
что в точности совпадает с исходным пунктом [равенство (17.26а)] приведенного выше нерелятивистского вывода при условии, что g8 = 2.
^ Усреднение (ф| |ф) соответствует интегрированию по орбитальным и спиновым переменным. В приближении Паули |ф) является произведением шредингеровской орбитальной волновой функции xFe на спиновую функцию (или суммой таких произведений). Опуская интегрирование по спиновым переменным, представим вторую часть (1-7.37) в виде спинового оператора
/for- OFJAXp + P XAI xF,), (17.39)
что можно выразить, используя самосопряженность оператора р через плотность P = xFexFe, т. е.
?<r. J (VpXA)ohr = ? J rot {(рог) • A) dx. (17.40)
Если приписать электрону плотность спинового тока
L = ?rot(por), (17.41)
то можно записать оператор (17.40) в следующей форме:
J(L-A)rfT, (17.42)
Выражение (17.40) эквивалентно исходной формуле (17.38), но обладает тем преимуществом, что, если заменить вектор А на rot (|х/г), интеграл оказывается абсолютно сходящимся; подынтегральная функция обладает особенностью типа 1 /г2, а не Ilr3t и в случае s-электрона это однозначно приводит к последнему члену гамильтониана (17.30).
§ 4. Эквивалентные операторы, описывающие магнитную сверхтонкую структуру
Диполь-дипольное взаимодействие {3(1 -r) (s-r) — ^2(I-S)}/г* является произведением двух тензоров второго ранга и может быть переписано в виде
S {IlSk - J 6/* (I • S)} - гЧ,к) г-\ (17.43) /. к гл. 1?. сверхтонкая структура 129
G помощью выкладок, аналогичных использованным в § 1 этой главы при выводе ядерного электрического квадрупольного взаимодействия, находим, что в случае одного электрона с орбитальным моментом / указанное выражение эквивалентно следующему:
(2/ + 3)(21 , 1} { / (/ + D (Ь S) - f (1.1) (Ь S) - I (1 - S) (1 - 1) }.
(17.44)
Аналогично для терма (L, 5), удовлетворяющего правилу Хунда, получаем
y'3(lTf)(srr?) Tf(I-Sf) _ А Г'
= \ (г~3) { L (L + 1) (I . S) - 4 (L . I) (LS) - 4 (L . S) (L . I)},
(17.45)
где
2/+1-45 t]L _ 1
S = S (21 — 1) (21 + 3) (2L — 1) = ± 25 = + 2S <L||a||L>' (17'46)
причем величина rjz, определяется равенством (17.16), а (LIIaIIL)—равенством (16.25).
Поскольку оператор (17.43) Г-нечетен относительно электронных переменных, величина g обладает одним и тем же знаком для двух дополнительных конфигураций из X и 2(2/+1) —х Электронов в противоположность величинам TjL или (L||a||L), которые были введены при рассмотрении взаимодействий, Г-чет-ных относительно электронных переменных.
