Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Бели учесть (14.4), выражение для сипы (13.53) преобразуется к виду
5s^tV к* Vе?- %- cH-VV). (14-6)
78 Выражения количества движения (12.37) можно записать следующим образом:
Наконец, введя функцию
L= к,+ KiI-K^ к-ф- -W , (14.8)
мы можем написать вместо (14.6) и (14.7) равенства
Это означает, что уравнения движения (11.ЗО) dfti
XT = fCti U4.10)
можно написать в лагранжевой форме
= 0 . (14.11)
dt Э си
Функция L есть искомая функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с точностью т^* Сс^/с'КRVDt) .
В заключение выпишем еще раз функции К t V* л , Ktf Ф и V . Согласно формулам (12.14), (12.33), (12.34), (13.27) и (13.39), они имеют в>щ
к= 1(1 rnaa\+Ta} (14.12)
JO^ UJi + ^ + (мдз)
¦ , (о) nt") і п(а1 ^ . . » ч
79 - - і з;:; і н> ц^ *
* пСІ) д \1 3*13-
"Т ^^^Ьа.За^а; ' (14Д4)
і
Ca^ І)
+-IrIm у'і/Г-^__і— ) +
+ C5 ч 1 а \а- ІІ « * *J«1 эмае іа- Ь
tT'm (l'iiui-T'i.f-i__і—VU
JL Гт'чШ ^a (Vу у™« /,C4 L < J*e ЭОсц v^ Ш-Ті ;
ЇГ jKf 9ак9аі їй-M JJ '
so § 15. Релятивистская функция Лагранжа системы сферически симметричных вращающихся тел
Посмотрим, чему равна общая функция Лагранжа (14.8) в случае сферически симметричных однородных масс с вращением. Для этого рассмотрим последовательно функции К,
K1, KftI К, . Ф і cPi .? эФ, f V.
Чтобы получить функцию ^ из формулы (14.12),
вспомним, что величины Та» ^ ік и I I , согласно формулам (11,41), (12.11) и (12.12), имеют вид
W<-C<«, UW)
(а) С чОгЛ**
TS , (15.2)
нг = 2 таі - cJ*i. (15.3)
Для сферически симметричных и однородных масс цаходим
et
Tai=K^uOp = O, (!5.6)
eai-0 , (15.7)
B1^I1C- О • (1S.8)
Скаляр За в формуле (15.4) равей
Jpwtfi^mX f (15.9)
о
где Ra- радиус тела "а", Тензор момента инерции в механике, как известно, описывается выражением
Ifu' XdxMlK , (15.10)
где *
81 n _ 2 9?
Ja ""5 - (15.11)
Сравнивая (15.11) с (15.9), имеем
I - І
><х 2
Величина
^-HpuftCdX)'= I -Zgl (15.13)
есть энергия взаимного притяжения частиц, составляющих тело (взятая с обратным знаком). Учитывая формулы (15.4) - (15.13), запишем вместо (15.1) - (L5.3)
т» = T Л , (15.14)
' (15Д5)
Zt^=O . (15.16) Тогда искомая функция
Из (14ДЗ), имея в виду формулу (15.4), получим для функции K(1cf>) следующее выражение:
*С>= 77? I ytm.w,+4оОв + тД)д]«
Паї -Sd^1 -у ^ 3^tl ) (15.18)
v Ia- В\ 1 гЭа^ак Л
Для вычисления К г учтем, что в нашем слу-
лса) ^ca) Ac®1)
чае в общей формуле (14.14) величины Jj* , Jj4? , JjKP. соответственно равны
ce)nW (15.19)
JjK - wSJ JSK + wSK - u , 82 D^e = ' (15.2U)
a
f,tO («in») (mnW I») rJtaj p. .
V = + vW ^jItti = (15.21)
Поэтому (14.14) приобретает вид
?4? v-^evAa^^. (15.22)
Ca* I)
Фу нкци я U j равна
^ " Ac1 ь 55 aJj 1і ^г^Щд^і
{aft) * 1
JM st) 9а 4
- + к
СаЯі)
Согласно формуле (14Д5),
Функции ф1^ и Ф4(с<г> f если ИСХОДИТЬ иа (І4Д) и (14.2), соответственнно имэ№ вид
(Сф) J ___J
=0 , (15.26)
где fa определяется формулой (13Д1) .
Определим теперь функцию Ф^** в ДдЯ этого в формуле (14.3) нужно знать значения величин Для
сферически симметричных однородных масс. Эти величины в силу (13.10) и (13.19) равны
83 = , ^5.27)
где Ta^ и в свою очередь выражаются фор-
мулами (13.13) и (13.18). Расчеты показывают, что в нашем случае
"U = Ц- X KlC^X- ^ltf ), (15.28)
W--S-^IMk1 • (15'29)
На основании этих формул и значения (14.3) получаем
<сф> 2 г,4 п* <•»> <•*>
Ca* 6 )
і n* і») Ca> ф* ^
-vvNRAwlcWt Ja^^Tf, • (15.зо)
Подвергая это выражение дальнейшему преобразованию,
находим
><с*> 4
- Г, ^ J LH,.
JOS«?]!SivIHtsU ' (15-31)
ч-
mi
т не Sa- З« COa - собственный угловой момент тела "а".
Остается определить в Как видно из общей
формулы (14.16), в случае сферических однородных масс Функция
84 Итак, если учесть формулы (15.17), (15,18), (15.22), (15.23), (15.24), (15.26), (15.30), (15.31) и (15.32), релятивистская функция Лагранжа для системы сферически симметричных однородных масс с собственным вращением имеет вид
ДСФ) (СФ) <СФ) <<*>.,(<*) СИ) (Сф) (с*) <г ф)
L-K ^Mj -Ф V (15.33)
8 16. Функция Лагранжа системы двух сферических масс Cttia^vtil) с собственным вращением
Мы имеем
С'-й isIr1. (16-2>
- Cpu*'=-ІПЗЇЖ- (16.5)
-«РГ-і H,".)4- . (1е-е) Собирая все эти выражения, получим
Перегруппировывая соответствующие члены, имеем (АФ) ^ і , . V
а V Ct^me ^ 2е а
86 +Ь --т^+ІЇ'Ої']+
(16ДО)
В этом выражении условие Wtt^WH использовано постольку, ПОСКОЛЫ^Г при выводе формул (16.1) - (16.3) было положено 6(= О в а также отброшены члены, пропорциональные отношению Mla /fflg в (16.8).
§17. Замечание по поводу релятивистской функции Лагранжа (14,8)
Как говорилось выше, релятивистская функция Лагранжа (14.8) была получена в нашей работе /9/. Позднре в монографии /8/ Брумберг также рассмотрел вопрос о релятивистских уравнениях поступательного движения и соответствующей функции Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с той же точностью и тем же методом, что и в нашей работе /9/. Выпишем полученную им функцию Лагранжа
