Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
гя, •
dv « ? (21.13)
^A+ecooV)2
Подставляя сюда
CCOAV+е)2= ecoiV)1 + 2(.ег-<Х<+ e^vi+Ce*-«)^ (21.14)
и имея в виду (21.9) и (21.10), получим
2Я ,
2*
f Ccoavt е)» I, ,4 .by
2*
, г Л dv 1 /, 23t
неи) )= WTFT2I15,
Подставляя (21.11) и (21.15) в (21.5), находим
(Sv)V- -—-ItsLtX+ S Л) (2Л.16)
С ледовательно, искомое среднее (21.4) будет равно
^ns7j=Wifen^ia"
] 16 (21.18)
Чтобы найти это среднее, достаточно вычислить
^ г> г» гя-а» І г
-тгт- (.?*" 5Ї«') <21ДЭ)
Ia вр 4 J •
S* z« »f/
проекция вектора О на направление К . Подставляя (21. 19) в (21.18), получим
-^ЙВУ =^(^5.14^)15?) (21.20, ¦^(.Sv) Iv [WV]]=? (21.21)
Для вычисления (21.21) воспользуемся равенством
UvUvtwvH = (.sv)v4w-csv)cvc3)v . (21.22)
Го есть мы должны найти средние
V*?«?, iibaa)V =? (21.23)
Вьічигляем первое из них: 2Я
(Vwd.4>=-A__ML L2 O5V-^--V
v 2аг«* Jv v 20ГаЬ Cpmn4 v
о jO
JJ 291 291 ^
Л<+Єсоач> J J afcepm>4 ' ' 2 M3 е f
^ (21.24)
а 6 р ж'и+Іьі*')
При этом полезной оказывается заг*ена
V2^Uvm U). (21.25)
Переходим К вычислению
^ v 13*Яа C1 ciov) V 0
(21.26)
где З* - момент инерции пробного тела относительно оси вращения.
(cov/v = -—^ {- К 2W1COiWv (co-W +
t Є H(Oit ЛІП ч»(со*в>*їUU е.) і'-
- 2 а\ о)г Ain Ч> Ссолч» V е.)г1' + Ctw + ^ V }
где 60^ , Uii- проекции ? на направления Tv » Подставляя только четную часть этой функции в (21.26), имеем JJl
З*М* С.....rUw'i* .
о
2Я
І? , _ ........
0 0 (21.27)
Далее,
t 18
29 л 5
а-^ЬіДЧсцу+е)«^ . (Л' UcoWte) Л _ -
J ^+ecwV)1 а Г 2S а
о
В силу этого (21.27) запишется как
+ (2-)^-2 О-і)/TF) w'f) (21.30)
Преобразуем выражение (21.ЗО) с помощью простых равенств:
(21.31)
Тогда
<g?)ta?>?- .(2tW'*
abpw'U^/v-e*) 1
+ Ц+ 2 JTer Ld\ -V COit ) ^ (21.32)
Теперь, зная (21.24) и (21.3 2), запишем искомое сред-* нее (21.21) в виде
-—-г CSy)Lvt^vl3— - г -
19 -, j__ fat^sj *jJ'u (21.33
1 +Ji-e1 J-
4.
{ f?-*\r — r Tt -»-I
. (21.34)
Чтобы вычислить (21.35 достаточно найти --2Я
^К^Х^Х)?'* CsX + s:stl)i' 1 Ш.зе)
где , S01-- проекции вектора S0 на направления і'
и Г-__
6- 5V \ г о г;?
CS**) [P[?S.l] =
ZJI
Приведенных примеров и формул (3.28), (3.29) и (3.32) вполне достаточно для того, чтобы полностью осуществить усреднение правых частей (20.8) и (20.9) по явно содержащемуся времени ^ /52/. Тогда усредненные уравнения движения (20,8) и (20.Я) будут иметь вид
120 '[S.eJ-i-cU«)^"^!},
(21.38)
і цДМ A гйї1 -_г ^ .-J, +
(21.39*)
где Cki - единичный вектор в направлении M f совпадающий с
Эти уравнения можно привести к виду
d.M _ M Ь, tt.fl-fT?) я .5 J1
MS1 Г ^ гК "kl
121 3 которых
Q См Ь ) ( со, ¦>/ -*, \
2 а & ma cHi + /ГеГ)
J (21.4?)
CuJz^2-S4 ) Й 60z CMS) Г
+
.»,«С
+ g-cnS.)) ¦ ^ См^)СЙІ)м} -
(21.43)
Полученные уравнения движения можно подвергнуть_?альг-нейшему преобразованию. Вместо угловых скоростей и Ji4 введем общую для обоих уравнений (21.40) и (21 41 ) угловую скорость
О _ О (МЬ)^Г C^Si-CO4Sa) M _
>2 /
122 (21.45)
__CMS) , 7л, зутой t
(21.44)
Тогда уравнения (21.40) и (21.41) запишутся как
о1Й, MU-ZTF7) н> .P^c5l dT~- 2артЧЧиДГЗР)* -1ЛМ] ,
_К - T О її (21.46)
§ 22. Предварительные замечания относительно уравнений первого приближения
1. Из уравнений первого приближения (21.38) и (21.39) как частный случаи получаются уравнения первого приближения ранних работ Рябушко /5, 48/, Абдильдина /9,49/, Курмакаева /50/ и Брумберга /8/. Действительно, обратимся к уравнению (21.38). Опустим в нем первый член правой часїи и заменим S* на S> , Тогда
-1- (е„ ь) t§„eBl - -I-Cs.?,, ЯЬ еЛ) (22.1)
В работах Рябушко, например в /5/, дается выражение
123 - J tfuMl* ^ А О ^ U}*. (2 2.2)
TT
где Mh - ньютоново значение M ; vi- единичный вектор в направлении Mh ; у - ^ ,an - так называемое среднее движение, которое определяется выражением /16/
п- - /хт.
JUU5 (22.3)
а1
Соотношение Рябушко (22.2) является следствием нашего уравнения (22.1), если проинтегрировать его по времени при условии, что правая часть (22.1) постоянна,и вместо вектора M подставить его ньютоновское значение I^11 . Такое допущение вполне приемлемо при изучении движения за некоторый ограниченный промежуток времени. Однако как эволюционное уравнение (22.1) является более подхр-дящим, чем (22.2). Общая идеология асимптотического метода требует рассмотрения (22.1) как уравнения первого приближения для определения M , причем M считается переменной во времени не только в левой, но и в правой части (22.1) .
В нашей работе /49/ приведено уравнение
Оно полностью совпадает с (22.1) в сипу наличия тождеств
Обратимся теперь к уравнению (21.39). Если ъ нем опустить первые три члена и заменить S* на 5 , то б уде И иметь
124 Преобразуем (22.6), используя простые равенства
[MAl= AmJ^aU-e1)*', M4 =*m'mep,
^m. l/yw. (22.7)
a?pM ^w(W)1 '
к віщу
