Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
^i = $ const (lo.l)
называется адиабатическим инвариантом и остается величиной постоянной. Здесь P^ - обобщенный импульс, C^ -обобщенная координата.
В случае задачи Шварцшильда (см. (6.19), (6.20), (6.21))
D4,= § - *зтР^25гМ , (10.2)
V § , (Ю.З)
VflVh- . (10.4)
Круговой интеграл (10.4) означает, что его следует взять в пределах от 1Л до rIt со знаком плюс перед корнем ( Ра>0 ) и от до со знаком минус ( R1^O ),т.е.
V= * IJte- m«c*)- . (Ю.З)
Имея в виду (6.39) и (6.43), перепишем (10.5) в виде
V + 3T-^ou- (заб)
Этот интеграл легко вычисляется и равен /27, с.бО/
^^/Г"^ ) • (1а7)
Если подставить значения А, В, С из (6.43) , то получим
44 JjT , " ==i--I M->cV (10.8)
?7
ИЛИ
Ъ.- + /? , ..." (109)
l* ^mE--§' ^yl * ' *
Это уже есть соотношение, связывающее энергию с адиабатическими инвариантами.
Отсюда легко усмотреть, что в случае шварцшильдовой задачи частоты движения
не равны между собой. В случае классической механики (10.9) примет вид
- (10Д1,
2* /^e 23Г
т.е.
. (10. 12)
Таким образом, в случае центрального поля снимается частотное вырождение кеплеровой задачи.
Найдем теперь адиабатические инварианты задачи о движении в поле вращающегося массивного тела« Снова воспользуемся выражениями (6,19) - (6.21). Тогда
ІЯ
- J^dLvp- госб , (юдз)
о
где 6" является 2. — составляющей момента количества движения M пробного тела г
VHd«-«yUvSi'to-t^-Si'J« , <10.14)
где I - угол наклона орбиты. Применив подстановку
ліпв= >6thi ^ihU f (10.15)
преобразуем этот интеграл /31, с.354/ к виду
45 « 2Mord-co/>i) = zorCM-6 ) . (ЮД6)
Третий адиабатический инвариант «і
\ - г dk=
-A^ - . (10.17)
где положено
28б? = afcffmc* . (ЮД8)
Данный интеграл можно вычислить, опираясь на некоторые результаты работы /32, с.533/. При этом получаем
VMjt-/^-Ї&-) . <10-19>
Имея в виду (6.43) и (ЮД8), перепишем это выражение следующим образом:
_ Um.)1 *т.с»"7
* /-«mE-fi' * 4jr*
_rm*m.2gc'3« (10.20)
«,¦О.)' '
Полученное выражение обобщает (Ю.О) на случай, когда центральное тело имеет собственное вращение. Частоты движения
^F ЭЕ ,, ЭЕ
отличаются от шварцш ил вдовых и содержат поправки, связанные с вращением центрального тела. Глава З
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ИХ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ И ВРАЩЕНИЯ
Начало механики протяженных масс (тел) ТГЭ заложено в классической работе Фока /2/, где он сформулировал свой первый метод получения уравнений движения из уравнений поля, основанный на использовании так называемого условия гармоничности. Если в методе Эйнштейна- Инфельда - Гоф-фмана (метод ElH) /1/ исходят из уравнений тяготения, где правая часть равна нулю, и получают уравнения движения для точечных особенностей поля, то характерными чертами метода Фока являются, с одной стороны, рассмотрение тензора массы, определяемого параллельно с потенциалами тяготения, с другой - использование условия гармоничности. При этом уравнения движения получают из условий гармоничности.
Впоследствии Инфельд показал /3/, что выкладки при использовании метода EIH становятся несравненно проще, если с самого начала ввести тензор массы с дираковскими дельта-функциями, соответствующими точечным особенностям (метод Инфельда). Таким образом, можно усмотреть влияние метода Фока на El H-мет од*
Работа Фока /2/ завершается выводом ньютоновых уравнений поступательного движения из уравнений поля. Выводу релятивистских уравнений поступательного движения тел, не имеющих собственного вращения,была посвящена работа Петровой /33/. Эта работа была использована Фоком /4, С.504/ в статье об интегралах центра инерции /34/.
47 Гем же методом Кашкаров /35/ получает ньютоновы уравг-нения вращательного движения из уравнений поля. Фихтек-гольц /36/ привел уравнения движения, полученные Петровой, к лагранжевой форме и вывел отсюда интегралы движения. Папапетру /37/ независимо от Петровой продолжил работу Фока /2/ и вывел релятивистские уравнения движения для сферически симметричных невращающихся масс.
Ряд новых результатов содержится в известной монографии Фока /4/. В частности, здесь изложен его второй метод получения уравнений движения из уравнений поля, основанный на равенстве нулю расходимости тензора массы, С помощью этого метода выведены релятивистские уравнения поступательного движения системы А/ тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения, а также соответствующая им функция Лагранжа. Релятивистские уравнения вращательного движения Фоком не выводились.
В работе /6/ Айтикеева и Петрова получили первым методом Фока релятивистские уравнения поступательного и вращательного движения системы сферически симметричных вращающихся тел. Далее, Петрова /38/ предприняла попытку привести уравнения поступательного движения к лагранжэво-му виду. Обратим внимание на разную степень точности вьї-водов релятивистских уравнений в работах /4/ и /?/. В работе Фока уравнения движения соответствуют лагранжиану L- m C^OqrtAt J(RZD)f тогда как у Айтикеевой и Петровой -L^ *т\с?(CjVci)(R^t). Здесь C^ - некоторая скорости, характеризующая порядок скоростей системы тел, R - длина, характеризующая линейные размеры тел, a D - величина порядка расстояния между ними.
