Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
to» 0? (O0 - угловой момент шара. Тогда интеграл (19.11) примет вид
. йме»
Учитывая тождество (18.10), запишем
Cwe)
0 (19.17)
J 09 Следовательно, метрика первого приближения Фока (1.32) для вращающегося шара примет одну из следующих форм:
+ CU1J*, ¦ Ujdxt+ Ui<Ц )<U , (19,18)
в сферической системе координат /66, с.20/ -
- о )(ДгЧЛе%г*»«'е )+^ Мг,'б Jy Jt (19.19)
О с С
в векторной записи -
,иЦсМи
-(H^) а?' (.od?) dt, (19.20)
где UhU определяются формулами (19,6). Если теперь так же, как в 3 3, воспользоваться соотношением
1 ь.
L--HlC^p , (19.21)
то мы получим в точности (19.7),
В заключение заметим, что наша функция (19.2) отличается от аналогичной функции работ Рябушко, Абдильдина, Курмакаева и Брумберга учетом членов, квадратичных по
И S0 9 а также членов, зависящих от внутренней структуры. Ради точности следует сказать, что в работах Рябушко обычно учитывается член, квадратичный по $ 0?
IlO однако коэффициент у этого члена отличается (см. 8 18) от коэффициента соответствующего члена (19.2). Таким образом, (19.2) обобщает и уточняет функции Лагранжа предшествующих работ, использованные при рассмртрении задачи двух вращающихся тел. После такого обсуждения функции Лагранжа (19.2), которая является исходной в этой главе, вернемся к нашей непосредственной теме -задаче двух тел.
g 20. Уравнения движения
Запишем уравнения движения рассматриваемой нами задачи в представлении векторов M и А , что удобно для применения асимптотических методов нелинейной механики, поскольку налицо разделение переменных на быстрые и медленные. Последнее обстоятельство как раз и является характерной особенностью тех задач, для анализа которых применяются асимптотические методы исследования /51/.
Итак, следуя методике, использованной в б 2, 3 и 5, составим
fi«t«tPl , (20.1)
f»t|abt?ih-mr?urt4n. (20.2) +?iU5m.S . <20-3>
Гамильтониан
і її im
ОЛШ.УІ-ї). (20.4)
2ym 7mec*
Производные
S = M =I-r>u + J_pM2!t>lY|!_ *
г Sp K Wr % »\e!
+2ik«t5f) 3 - ] <ao.s>
,vu ^t-u.g
где введено обозначение
S*= S + T^0Se . (2CV7)
Подставляя (20.5) и (20.6) в (20Д) и (20.2), получаем интересующие нас уравнения движения:
1.12 , (20.8)
У9Ш +
Vtvc4
2* гC Tn ^yVtIo гскт. гамі.
«CSM)[5M] - ^{(S'SJKMl -|<$«?>&«>
«t?M] + (.S*?)ts.M] * es.* >1 +
§ 21. Усреднение уравнений д&ижения
Точное интегрирование (20.8) и (20.9) затруднительно. Поэтому к ним применим хорошо разработанные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Особенно эффективными являются асимптотические методы нелинейной механики, которые уже использовались нами в 8 2, 3 и 5.
Дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода получаются осреднением правых частей уравнений (20.8) и (20.9) для медленных переменных по быстрым переменным, к тому же при осреднении подставляются кеплеровы (невозмущенные) значения переменных.
113 Переходим к составлению уравнений первого приближения, ^іесь полезными являются формулы кеплерова движения /16/2
г sP^* всо*ч> )1 , Ъ-? Ссх>*ч> J7) f
= (21.1)
* (со*ч> + е) і'} УГГ=2ягтаї> ,
где Jl f ф - полярные орбитальные координаты; К , 1 , орты орбитальной декартовой системы координат, причем V направлена в сторону перигелия. Теперь нетрудно видеть, что правые части уравнений движения (20.8) и (20.9);по существу, зависят только от одной переменной Ч* , которая в свою очередь является функцией времени t. Поскольку мы, следуя методике,примененной в § 2,3, собираемся усреднить правые части (20.8) и (20.9) по времени, то полезно заметить, что для любого члена правых частей (20.8) и (20.9) справедливо равенство
T 211 27Г
-ті^ =?-J«*»"
=Sii J hMV . (21.2)
Таким образом, усреднение по і сводится к усреднению по V с весовой функцией
XVaS . В процессе усреднения приходится также пользоваться формулой (3.21)
2jr СІФ 23Г _\
(21.3)
В качестве примера рассмотрим среднее от некоторых членов правых частей (20.8) и (20.9).
о
114 = Lw(SV)V] *? (21.4)
Таким образом, мы должны найти среднее 23J ^
2- . АЧ> о «(V'+ $<*')- S2Cco^ ¦ е) іОснвсоб^" *' (21-5)
где S1 , S^ ~ проекции собственного момента пробного тела S на направления {.' , J7f Далее, мы должны вычислить интегралы
25Г 23Г IOT
Гмп*Ч» clHJ Гмпч>(со*ч>+е)
Jtf+ЄсоачО* 1 J Ц+есаъ^1 'JlUeco*^1 " (21-б)
о о о
Рассмотрим первый из них. С помощью формулы Aln1V= + (i+ЄсМЧ»* (21,7)
приводим его к сумме интегралов вида (21.3);
У ai^wdv _ (, і \2С au> +
0 . °
1 P Ач» _ 13L _ 7
e*JH+ecw>V) Є1
Согласно (21.3),
2P dv = 20г
2 Jl
Г dV ___23Г_ їО+ес«*»)1 О-С2)]^
Подставляя эти результаты в (21.8), имеем
115
(21.8)
(21.9) (21ДО) а*
f _ 2зг / 4 __ Л
(21.11)
О
Теперь вычислим второй интеграл в (21.6).' 2л
ГмпУСсооу^) j4>_0 (21Д2)
J (.А+ есолч»)1
о
р сипу нечетности подынтегральной функции. Рассмотрим третий из интегралов (21.6):
