Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Общая литература к главе 4
[1] В. И. Арнольд, Малые знаменатели I. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1961, 25, №1, с. 21-86. Малые знаменатели II. Успехи мат. наук, 1963, №5, с. 13 40.
[2] Д.Д.Биркгоф, Динамические системы, M.-JL: ОГИЗ, 1941. § 23. Топологическая неустойчивость и усатые торы
113
[3] J. Moser, On Invariant Curves of Area-Presenring Mappings of an Annulus. Gottingen Nachr. №1, 1962.
[4] H. Poincarc, Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, I, II, III. Gauthier- Villars, Paris (1892, 1893, 1899).
[5] C.L.Siegel, Vorlesungen uber Himmelsmechanik. Springer, Berlin (1956). Приложение 1 Теорема Якоби
(См. пример 1.2, гл. 1)
Пусть S1 = {х (mod 1)} — окружность, снабженная обычной мерой, tp — автоморфизм: х —х + из (mod 1), ш ? I.
Траектории автоморфизма tp всюду плотны в том и только том случае, если из иррационально.
Доказательство.
Предположим, что из рационально.
Тогда из = p/q, где р, q — целые числа, число q положительно и взаимно просто с р. Следовательно,
ipgx = X + quj = X + P = X (mod 1).
Таким образом, траектории состоят из конечного числа точек. Предположим, что из иррационально.
Пусть X Є S1. все точки tpn.X различны, так как из равенства
IpnX = LpmX
мы заключаем, что (п — гп)из Є Z; следовательно, п = гп, так как из иррационально. Поэтому траектория состоит из бесконечного множества различных точек, обладающего предельной точкой на S1 (S1 — компактное множество). Таким образом, при любом е > 0 существуют различные целые числа п и т такие, что
\(рпх - tpmx\ < ?.
Поскольку tp сохраняет расстояние на S1, предыдущее неравенство представимо в виде
\(p^x — x\<?, где р = \п — т\.
Следовательно tppx, tp2px, ... , tpkpx, ... делят S1 па отрезки, длина которых меньше є. Поскольку величина е произвольна, теорема доказана. ¦ Теорема Лкоби
115
Эта теорема является частным случаем следующей.
Теорема. Пусть Tn = Жп/Ъп — n-мерный тор, снабженный обычной мерой, tp — автоморфизм х —> х + и (mod 1), где и Є М™, х Є Т". Тогда траектории автоморфизма tp всюду плотны в том и только том случае, если из того, что {k, и>) E Z при к Є U1 следует, что к = 0. В непрерывном случае справедлива следующая теорема:
Если ipt определяется соотношением х —> х + tu> (mod 1), где X Є Tn, t Є К, иг Є К", то траектории автоморфизма ipt всюду плотны в толі и только том случае, если из того, что (u>, k = 0 при к Є Zn следует, что к = 0. Приложение 2
Геодезические потоки на торе
(См. пример 1.7, гл. 1)
Пусть V — двумерный тор, порождаемый вращением окружности радиуса г вокруг прямой Oz, лежащей в плоскости окружности. Расстояние от центра окружности до оси считается равным 1. V определяется уравнениями
X = COS (р (1 + г cos ip), у = sin<? (1 + г COSIp), Z = rsinij),
где ip — долгота, тр — широта. Геодезические потоки на торе
117
Законы сохранения энергии и момента импульса относительно оси Oz дают уравнения геодезических:
T2Ip2 + (1 + T COS ф)2ф2 = h = const, ф( 1 + гсояф)2 = k = const,.
Геодезический поток на M= TiV получается при h = 1. Он инвариантен при поворотах tp —> ц> + const. Поэтому за начальную точку гсодсзичсской можно принять точку па окружности с любой долготой. На рис. П2.1 две геодезические общего положения 71 и 73 разделены
ГСОДСЗИЧССКОЙ 72- Приложение З Движение Эйлера-Пуансо
(См. пример 1.7, гл. 1)
Это движение твердого тела вокруг его центра тяжести. Размерность фазового пространства равна 6. Существует 4 первых интеграла, независимых и однозначных: энергия T и три составляющие момента количества движения т относительно фиксированных осей. Точки фазового пространства, для которых Tum, принимают заданные значения, образуют в общем случае многообразие M размерности 2 = 6 — 4, являющееся тором. Так как многобразие M инвариантно относительно динамического потока <pt, M несет инвариантную меру ? (теорема Ли-увиллл). Следовательно, (М, ?, <pt) — классическая система. Это доказывает также, что M несет на себе поле касательных векторов, не имеющее особых точек, — инфинитезимальный генератор потока щ.
Поскольку ясно, что многообразие M компактно и ориентируемо, мы заключаем, что M диффеоморфно тору T2.
Каноническое преобразование сводит систему (М, //, <pt) к системе вида і = 1, у = а (пример 1.2, гл. 1) (см. приложение 26). Отсюда следует, что движение Эйлера-Пуансо в общем случае квазипериодично и траектории всюду плотны на М.
Два периодических движения называются, соответственно, прецессией и нутацией (Эйлер [1]). Приложение 4 Геодезические потоки на группах Ли
(См. пример 1.7, гл. 1)
Если M — группа Ли, снабженная инвариантной слева (или справа) метрикой, то геодезический поток имеет важные приложения.
Если M = SO(S) — связная составляющая единицы группы вращений трехмерного пространства E3, то геодезический поток представляет вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Каждая орбита соответствует какому-нибудь движению.
Группа гомотетий с положительными коэффициентами и трансляций n-мерного аффинного пространства порождает геодезический поток (п + 1)-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны.
