Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
A:p,q^p,q + w(py, wk(p) = 2тг-^, (fe = 2, ...,п). (21.10)
Иначе говоря, каждый тор р = const инвариантен и при отображении А поворачивается па угол w(p).
Если возмущение Hi достаточно мало, то соответствующее каноническое отображение А поверхности S2n-2 близко к (21.10). Ясно, что (п — 1)-мерные инвариантные торы отображения А соответствуют n-мерным инвариантным торам системы (21.5). Аналогом теоремы (21.7) для таких отображений является приводимая ниже теорема 21.11. Пусть снова и — фазовое пространство р, q:
Предположим, что В: р, q -J- р'(р, q), q'(p. q) — глобальное каноническое отображение, т.е.
для любой замкнутой кривой у в ІЇ (см. приложение 33). Предположим также, что функции р'(р, q), q'(p, q) — q аналитические в комплексной окрестности [О] фазового пространства О:
Re(p), Re(g) Є Г2; | Imp|, | Img| < p.
Пусть A: p, q -J- p, q + ш{р) — каноническое отображение, заданное функцией и>(р), аналитической в [12] и T10(и>*) тор {р = р*, со(р*) =u!*}, инвариантный относительно А.
О = Tn X Bn, Bn = {р}, Tn = {q (mod 2тг)}. § 21. Инвариантные торы и квазипериодические движения 99
Теорема 21.11. Если отображение В достаточно близко к тождественному, то почти при любом18 и>* существует торТ(и)*), инвариантный относительно BA и близкий к Тц(и>*).
Более точно, при любом а > 0 существует є > 0 и отображение D: T —»¦ ш, р = p(Q), q = q(Q) абстрактного тора T = {Q (mod 27г)} в Ji такое, что
D(Q + и*) = B-A- D(Q),
D
Q-> Q + u)*
и
\p(Q)-р*\< a, \q(Q)-Q\<a, если в [О] выполняется неравенство
Ip' - р\ + W - q\ < є = є(а, W*, a, si, р) > о.
Кроме того, торы Т(и>*) образуют множество положительной меры, дополнение к которому имеет меру, стремящуюся к нулю вместе с \р' — р\ + ч' — Теорема 19.10 непосредственно следует из теоремы 21.11 при п = 1.
Теорема 21.11 известна с 1954 года, хотя ее доказательство никогда не было опубликовано. ю. Мозер [1] дал ее доказательство для случая отображений плоскости (п = 1). В этом доказательстве используется топология E2. Доказательство теоремы для произвольного п см. в приложении 34: топологическая часть сводится к методу производящих функций глобальных канонических отображений (см. приложение 33).
Сравнение теоремы 21.7 с 21.11 и 21.12
Неизвестно, можно ли построить любое каноническое аналитическое преобразование, близкое к а, используя сечение подходящей га-мильтоновой системы. Следовательно, теорему 21.11 невозможно вывести из теоремы 21.7.
18Исключая множество лебеговой меры нуль. 100
Глава Jf
Точно так же, если ограничиться гамильтоновой системой (21.5), то теоремы 21.7 и 21.11 не приводят к эквивалентным результатам. Действительно, условия невырожденности теорем 21.7 и 21.11
det
dw
др
ф 0, det
диз
др
представимы в терминах невозмущенной функции Гамильтона H0 в виде
det
O2Ha Op2
ф 0, det
O2H0 OII11
др2 дНа др
др 0
?0.
Ясно, что эти последние два условия независимы. Каждое из них достаточно для существования инвариантных торов. Кроме того, второе условие гарантирует наличие инвариантных торов на любом уровне энергии, что влечет за собой устойчивость (см. рис. 19.21) в случае двух степеней свободы (га = 2 в теореме 21.7, га = 1 в теореме 21.11).
Кроме того, в приложениях оба условия (21.13) либо одновременно выполняются, либо ни одно из них не справедливо.
§ 22. Теория возмущений
Обратимся к асимптотической теории, т.е. ограничимся изучением поведения траекторий при 0 < t < 1 je, где є — возмущение. Кроме того мы можем теперь рассматривать негамильтоновы системы.
А) Метод усреднения19 22.1
Пусть Tk = р (mod 27г), <р = (pi, ..., <pk) — fc-мерный тор, B1 = I, I= (Ii, ..., Ii) ограниченная область евклидового пространства Рассмотрим в фазовом пространстве и> = Tk х B1 певозмущеппую систему
ф = w(I), I= 0, w = (wi, ...,Wk). (22.2)
Ясно, что это обобщение системы (21.3) из § 21: каждый тор I = const инвариантен, и если частоты w несоизмеримы па торс TT, то траектории w(t) всюду плотны на этом торе. В этом случае движение (22.2) на
19Этот метод использовали в небесной механике еще Лагранж, Лаплас и Гаусс. § 22. Теория возмущений
101
торс T называется квазипсриодичсским. Если частоты соизмеримы, то замыкание орбиты есть тор, размерность которого к меньше п (резонанс).
Рассмотрим теперь возмущенную систему, обобщающую систему (21.5) из § 21:
ф = ш(1) + sf(I, <р), j /(/, <р + 2тг) = f(I, <р),
где < ? <sC 1
I = eF(I,<p), \F(I,p + 2n)=F(I,p),
(22.3)
Ясно, что при t, Ri 1 эволюция I(t) удовлетворяет неравенству
|/(*) -J(O)I ~е < 1.
Заметные (порядка единицы) эффекты эволюции могут наблюдаться лишь на достаточно больших интервалах времени t ~ 1/е.
Рассмотрим теперь применение теории возмущений. Пусть F(I) — среднее:
F(I) = f ¦ ¦ j ПІ, <р) ,Ip1 ... dpk.
Рассмотрим «усредненную систему», или «систему эволюции»:
J = S-F(I). (22.4)
Предполагая, что є -С 1, получаем:
\I(t) - J(t)\ <С 1 при любом 0<?<|, (22.5)
где I(t), ір(і) решение уравнений (22.3), J(t) решение уравнения, соответствующее начальным условиям J(O) = /(0).
