Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
дГА
Рис. П14.1
1KaK видно из рис. П14.1, это преобразование, известное под названием «умножение хлебов», дает решение одной древней исторической задачи (20 г. до н. э.). 142
Приложение 14
В более подробной записи преобразование имеет следующий вид:
если 0 ^ х, у < Y2;
если 0 < X < V2, V2 < у < 1;
если V2 «С X < 1, О «С у < V2;
если 1I2 ^ X, у < 1.
Преобразование ^ сюръективно, но не инъективно: Ip-1Ta состоит из четырех элементов.
Проводя рассуждспия с прямоугольниками, стороны которых параллельны осям Ox и Oy, и замечая, что эти прямоугольники образуют базис алгебры измеримых множеств, мы видим, что <р сохраняет меру: = ?(A) для любого измеримого множества А.
Преобразование <р есть перемешивание: для любых измеримых А, В
lim ? \ip~NА Г) В}= ?(A)?{B). (П14.2)
N^ ос
Доказательство достаточно провести для случая, когда В — квадрат:
Щ ' (Р. 'Щ'
Если N ^ р, то В содержит AN~V прообразов множества А относительно преобразования іp~N. Каждый из этих прообразов имеет меру 4~N?(A), следовательно,
? [<p-NA n В] = An-P (4-N?{A)) = ?{A)?(B).
Поскольку p произвольно, получаем (П14.2).
Точно также можно было бы доказать, что преобразования
ірк : (X, у) —> (кх, ку) (mod 1), к Є Z+,
сохраняющие меру, обладают свойством перемешивания. Так как lPk ° lPr = lPkr> к, г Є Z+, то {ірк I к Є Z+} — полугруппа с перемешиванием относительно композиции2.
ір(х, у) = <
(2аг, 2у),
(:2х, 2у - 1), (2х - 1, 2у), (2х — 1, 2у — 1),
2Эта полугруппа может быть выражена через полиномы Чебышева (см. R. Alder, Т. Rivlin [1]). Приложение 15 Косые произведения
(См. определение 9.5, гл. 2)
Пусть (X, р) и (Y, q) — два пространства с мерами, соответственно, р и q, (M, р) — прямое произведение M = XxY, снабженное мерой р = р ¦ q.
Предположим, что S: X ^Y автоморфизм и каждому элементу X Є X поставлен в соответствие автоморфизм Tx: Y ^ Y такой, что отображение (х, у) —> Тху измеримо при любых х Є X, у Є Y. Тогда отображение ip, определяемое соотношением
<р(х> У) = (Sx, Тху),
измеримо и оставляет меру ?, инвариантной.
Действительно, по теореме Фубини, для любой измеримой функции F
?(v~lF) = J KF(iprn) dp, = j (У $;F(Sx, ТхУ) dqj dp =
M XY
= Iii y) dq) dp = I{I sfcX5aj' y) dP) d® =
XY YX
= /(/ dq = ?(F),
Y X
где ,?? — характеристическая функция F.
Динамическая система (М, р, ip) называется косым произведением динамических систем (X, р, S) и (Y, q, Tx).
Пример П15.1. Если Tx =T — постоянная функция, то ip = SXT, и косое произведение есть не что иное, как произведение динамических систем (X, р, S) и (Y, q, Т). 144
Приложение 15
Пример П15.2. Выберем в качестве S эргодический автоморфизм измеримого пространства (X, р), в качестве Y — окружность S1 = = {х (mod 1)}. Если а(х) — измеримая функция, определенная на X, со значениями в Y, то
<р(%, У) = (Sx, а(х) + у (mod 1)).
Это — косое произведение, ассоциированное с функцией а.
Конкретизируем рассматриваемую динамическую систему, выбрав в качестве X = {х (mod 1)}, а в качестве S — эргодическое преобразование X —у X + ? (mod 1). В качестве функции а выберем
а„(ж) = пх (mod 1), и ? Z+.
Следовательно, с каждым положительным целым п связано некоторое косое произведение: Анзаи (Anzai [1]) доказал, что динамические системы (М, ц, іРп), определенные указанным выше образом, принадлежат к одному и тому же спектральному типу, пс будучи изоморфными1.
1Bce динамические системы (М, ц, ip„) имеют нулевую энтропию. Приложение 16 Дискретный спектр классических систем
(См. 9.13, гл. 2)
Пусть (М, р, (pt) — классическая система, Ut — унитарная группа, порожденная диффеоморфизмом ipt. Рассмотрим дискретную компоненту спектра Ut, это — дискретный спектр.
Динамические системы, построенные во второй части теоремы о дискретном спектре (9.13, гл. 2), являются классическими системами, если ранг1 абелевой группы собственных значений конечен.
Во всех известных примерах классических эргодических систем ранг дискретного спектра меньше или равен размерности пространства M.2 Естественно предположить, что этот ранг всегда конечен. Вот результат, полученный в этом смысле.
Собственные функции классической системы могут быть всюду разрывны (см. пример А.Н.Колмогорова [1]), но если они непрерывны, то ранг дискретного спектра меньше или равен первому числу Бетти &1 = dim Hi (М, Z) пространства М. Более точно, справедлива следующая теорема.
Теорема П16.1. Пусть (M, р, ipt) — классическая эргодическая динамическая система. Если собственные функции индуцированной унитарной группы Ut непрерывны, то
ранг дискретного спектра ^ Ь\.
Ясно, что эта теорема является следствием следующей. Теорема П16.2. Пусть (M, р, tpt) — классическая эргодическая система. Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен bi.
Прежде чем доказывать эту теорему, введем понятие чисел вращения.
1PaHroM группы называется максимальное число независимых генераторов.
