Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Между островками и кривыми Г? остаются еще зоны вблизи гиперболических точек. Действительно, рассмотрим сепаратрисы гиперболических точек отображения Г™. Можно показать7, что эти сепаратрисы гиперболических точек образуют сложную сеть, в общих чертах изображенную на рис. 20.10. Открывший ее А.Пуанкаре писал ([2], t. 3, chap. 33, p. 3898):
«Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся.»
6Рис. воспроизведен из работ В.И.Арнольда [4].
7Cm. Н. Poincare [2], В.К.Мельников [1].
8A. Пуанкаре «Избранные труды», Т. II. — М. Наука, 1972, с. 339.
Рис. 20.10 92
Глава 4
Неизвестно, обладают ли движения в зонах неустойчивости эргодичес-кими свойствами. Возможно, что среди эргодических составляющих встречаются системы с сингулярным спектром, а также if-системы.
Замечание 20.11. Заметим, что существование бесконечного числа эллиптических островков при заданном є 1 не следует из наших рассуждений. В силу последней геометрической теоремы Пуанкаре9, в кольце, расположенном между инвариантными кривыми ГЕ, существует бесконечное число неподвижных точек отображения Т"(п —» оо) с индексом +1 (см. теорему 19.10). Однако может случиться так, что некоторые из этих точек будут не эллиптическими, а гиперболическими с отражением. Численные эксперименты10, по-видимому, свидетельствуют в пользу такого вывода.
Следующие иллюстрации (рис. 20.12-20.14) заимствованы из работы Xe-нона и Хейлеса [1]: на них изображены орбиты отображения типа Тє, вычисленные с помощью компьютера. Все точки, расположенные не на кривых, принадлежат одной-единственной траектории.
У
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 У
Рис. 20.12
9Cm. Н. Poincarc [3], G. D. Birkhoff [1].
10Cm. Гельфанд, Граев, Зуева, Михайлова, Морозов [3]; Охоцимский, Сарычев и т. д. [1], М. Henon и С. Heiles [1]. § 21. Инвариантные, торы и квазипериодичесжие движения
93
У 0.5 0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 у Рис. 20.13
§ 21. Инвариантные торы и квазипериодические движения
Пример, рассмотренный нами в §§ 19 и 20, представляет собой частный случай общей ситуации, которая встречается для всех систем, близких к так называемым «интегрируемым системам».
А) Интегрируемые системы 21.1
Рассматривая интегрируемые задачи в классической механике11, мы обнаруживаем, что для каждой из них ограниченные траектории либо периодические, либо квазипериодические. Иначе говоря, фазовое пространство расслоено на инвариантные торы, несущие квазипериодические движения.
Пример 21.2. Пусть фазовое пространство Г2 = Tn х Bn есть прямое произведение ограниченной области Bn евклидова пространства M'1 и тора Tn, р = (рг, ..., рп) — координаты па Bn, q = (q1, .... qn) (mod 2-7г) — координаты на Tre. Система гамильтоновых уравнений с га-
11HanpHMep, движение свободной точки по геодезическим на трехосном эллипсоиде или торе (см. 1.7, гл. 1 и приложение 2), тяжелое твердое тело (случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) и т. д. 94
Глава 4
Рис. 20.14
мильтонианом H = Но(р)
р = О, q = u)0(p), где w0(p) = ^jp (21.3)
описывает квазипериодическое движение с частотами со(р) на инвариантных торах р = const. Частоты изменяются от тора к тору; если
д2Н0 _ OuJq
ol2 " OI ^ '
то в каждой окрестности тора р = const существуют инвариантные торы, на которых частоты независимы, а орбиты всюду плотны12. Существуют также другие торы с соизмеримыми частотами; такие торы «исключительны» в том смысле, что они образуют множество меры нуль. Координаты (р, q) на Bn х Tn называются координатами «действие-угол».
Можно доказать13, что во всех «интегрируемых» системах фазовое пространство разделено гиперповерхностями-сепаратрисами на инвариантные области, каждая из которых расслоена на инвариантные
12Cm. приложение 1.
13Cm. приложение 26. § 21. Инвариантные торы и квазипериодические движения
95
n-мерные многообразия. Если область ограничена, то эти многообразия являются торами, несущими квазипериодические движения. Для такой системы могут быть введены переменные действие-угол, а система может быть записана в виде (21.3).
В) Системы, близкие к интегрируемым 21.4
Рассмотрим теперь возмущенную функцию Гамильтона:
H = Ha (р) + H1 (р, q), H1 (р, q + 2тг) = H1 (р, q) « 1,
где «возмущение» H1 «мало». Соответствующие гамильтоновы уравнения имеют вид:
P =
DII1
q = uj0(p) +
дН1 dp
(21.5)
А.Н.Колмогоров [6] доказал, что для большинства начальных условий движение остается квазипериодическим (см. теорему 21.7). Отсюда следует, что системы (21.5) не эргодичны на поверхности H = const и что среди эргодичсских компонент имеются компоненты с дискретным спектром, дополнение к которым имеет настолько малую лебеговскую меру, насколько мало возмущение H1.
