Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
wm
g(y)=f($(y))W(y)\
і/[я(1+ **)]; У = 1 — Xі;
S ,
x = V 1-у;
ifcVW^W}
Пример 4. С. в. X распределена по тому же закону Коши f(x) — 1/[я(1 + а?2)]; св. Y есть величина, обратная X:
У=1/Х.
Найти ее плотность g(y).
Решение. График функции у = Mx показан на рис. 9.1.4. Эта функция терпит разрыв второго рода (пе-
340
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
рескакивает с —°° на +оо) при я = 0; но обратная функция X = і/у однозначна, поэтому можно применять ту же формулу (9.1.7), которая выведена для монотонной функции. Решение снова оформим в виде двух столбцов (слева — общий, справа —- частный случай):
/(*)
У - Ф {.х)
Wiy)\
1/[я(1 + г*)]; У = i/x; X = і/у;
г(у)-1/[я(1 + W) у2} =
- 1/[Ji(I + J,*)],
т. е. обратная величина Y = VX тоже, как и X, имеет распределение Коши. >
Пример 5. Скорость соударения молекул X распределена по закону Релея с параметром о:
><*>-$ <*>°>-
Количество выделяемой энергии Y при соударении молекул определяется по формуле
Y = ф (X) = с (l — е~* J (с>0— неслучайная величина).
Найти п. р. с. в. Y.
Решение. При X > 0 функция <p (X) монотонна. Решение примера снова располагаем в виде двух столбцов (слева общий случай, справа — частный конкретный случай):
/(*) У = Ф (*)
U'to) I
(ж/а2) ехр {— г7(2а2)} (ж > 0); у = с(1-ехр{-х*)) (0<у<с); x = (-ln[(c-j/)/c])l/2 (0<^<С); c/[2(c-y)(-lal(c-y)/c))l/i] (0<у<с);
j,\(l-2aa)/(2os)
"а"'--
1а2с і с j
(0<#<с). >>
9.1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА
341
Пример 6. Радиус круга X распределен по закону Релея с параметром о:
/(*) = -2 ехР
(х >0).
Найти закон распределения св. Y — площади круга. Решение. Св. Y = пХ2, — функция монотонная при
Х>0$(у)*=(у/л)1>2; (у)I= -^r7=., откуда
2T/V
следовательно, с. в. У имеет показательный закон распре-
1 .
деления с параметром ^2-. >
Пример 7. Через точку а, лежащую на оси Orj, проводится прямая ab под углом X к оси Or] (см. рис. 9.1.5). Угол X распределен равномерно в интервале tg-; + yj. Найти
закон распределения св. Y — абсциссы точки пересечения прямой ab с осью 0?.
Решение. /(т])=1/я( - г] <yj; у = Ф (х) = a tg х; ф'ОО e arctg (у/а); Ф' I s , , ,.2/„2"T' Следовательно,
(_оо<у<оо),
1 + yVa'
т. е. с. в. Y распределена по закону Коши. >
Пример 8. Напряжение X распределено по нормальному закону с параметрами тх, оя; стабилизируемое напряжение Y определяется по формуле
а при X ^ а;
Y=X при а<Х<6;
.6 при Ь < Х#
Найти функцию распределения с. в. Y4
Решение. С, в. У —смешанная: р {Y - а) - P {X < а} - Ф [(а - го,)/*»] + 0,5; P{ys=ft} = P{X>b} = l-P{X<6} =
-0^-01(6-/1?)/?],
342 ГЛ, 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
а ъ
Рис. 9.1.6
функция распределения с. в. X есть F(я), то О при у ^ а;
G(y)~
F(у) при а<у<Ь; 1 при #>Ь. >
Пример 9. Стабилизатор напряжения работает таким образом, что ограничивает напряжение сверху:
(X при X ^ а;
Y = min {X, а) = \ . v
к ' [а при а<.Х.
Найти функцию распределения с. в. У, если задана функция распределения с. в. X — F(x)>
Решение. По аналогии с решением предыдущего примера получаем
(y)~\F(y) при а<у. >
Пример 10. Стабилизатор напряжения X работает таким образом, что ограничивает напряжение снизу:
Y = max
{X1U) = It при
х 1 ' [X при а <Х,
Найти функцию распределения с. в. У, если задапа F[x\— функция распределения с. в. X,
где Ф (х)— функция Лапласа. Функция распределения с. в. У имеет вид:
О при у <; а;
G(U) = ' Ф[(if — rnx)/ax] + 0,5 при а<у<Ь; ,1 при у>Ь.
На рис. 9.1.6 показан график G(у). В общем случае, если
9.1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 343
Решение, получаем
В соответствии с решением примера 8
G
(у) - {
f (у) О
при при
а < у; У<а.
Рассмотрим теперь случай, когда функция у = ф(я) на участке (а, Ь) возможных значений с. в. не монотонна (рис 9.1.7). В этом случае обратная функция # = ^(у) неоднозначна.
Число значений обратной функции ^ (у) зависит от того, какое у мы взяли; обозначим эти значения t|)i(j/),
Y<y
О a fyy) fyy) fa(y) fyV) рб(у)Ъ Рис. 9.1.7
^2(у), $і(у)і ... Событие Y<y равносильно попаданию св. Xb один из неперекрывающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис. 9.1.7, где соответствующая часть кривой у = ф(я) лежит ниже прямой у; в нашем случае эти отрезки будут: от а до $і(у); от іМ#)! До (у), от ^4(J/) до ^ръ(у) и т. д.; последний отрезок может кончаться точкой 6, а может и одной из точек *ф.(у) (эт° несущественно). Попадания точки x в эти отрезки — события несовместные; по правилу сложения вероятностей
G (у) - P {Y < у} - P {X є (a, (J,))) +
+ P(Xe(?(у), Ь(у))} + P{xє(г|>4(у), (у))} + ..A -^1(v) -ф3(і/) %(у)
Учитывая правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его пределы (а именно: производная интеграла по такой переменной равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженному на производную верхнего предела минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умножен*
