Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
g(y)=Vy*-Xv (У>0). J9.4.9)'
Сравнивая это выражение с выраженивхМ (6.4.8), убеждаемся в том, что композиция двух одинаковых показательных законов (X1 X2 = X) представляет собой закон Эрланга второго порядка (9.4.9). При композиции двух показательных законов с различными параметрами Xi и X2 получают обобщенный закон Эрланга второго по-рядка (9.4.8). >
Задача 1. Закон распределения разности двух св. Система св. (X1, X2) имеет совместную п. p. /(JCi1 X2). Найти п. р. их разности Y Xt - X2.
Решение. Для системы св. (Xi, —X2) п. р. будет /(т1? —х2), т. е. мы разиость заменили суммой. Следовательно, и. р. случайной величины Y будет иметь вид (см. (9.4.2), (9/1.3)): -
OO OO
і (У)- J Kr11X^-у) dx^ f f(x2 - у, хг) dx2. (9.4.10)
360 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
На рис. 9.4.2 изображена п. p. #(*/). Если рассматривается разность двух независимых показательно распределенных св. с одинаковыми параметрами (A1 = X2 = X),
то g(y)= he Му|/2 — уже знакомый закон Лапласа (рис. 9.4.3). >
Пример 3. Найти закон распределения суммы двух независимых с. в. X1 и X2, распределенных по закону Пуассона с параметрами а{ и az.
Если с. в. X1 и X2 независимы, то
OO OO
g(y)= ,f /і (*і) /а (*i - У) = f /Лхг-у)/г(х2)ах2. ^
— OO —OO
(9.4.11)
Пример 2. Найти п. р. разности двух независимых показательно распределенных с. в. с параметрами X1 и X2. Решение. По формуле (9.4.11) получим
OO
8 (У) = J fi(Xi)fA*i-y)tei-
— OO
Рассмотрим два случая:
а) у>0:
OO _^ у
= J M * V*i = т~ТТ~; 1/ 1 2
б) у<0:
оо ^ у
9.4. СУММА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
361
Решение. Найдем вероятность события {X1+ X2 = = m> (m = 0, I1 2, ...).
P(X1 + X2 - т) = 2 P{*i - Aj-P(X2 = m - /с}
ft=o m-ft
2 ^«2
е-(ві+ва) ml a*aj
m-ft 2
ft=0
(т - Ar)!
A*! (го — Лг)!
_ (fli + a2) -(?+?) - ml *
Следовательно, св. Y = X1 + X2 распределена по закону Пуассона с параметром a(2) = а{ + а2. >
Пример 4. Найти закон распределения суммы двух независимых с. в. X1 и X2, распределенных по биномиальным законам с параметрами п{\ р и п2\ р соответственно.
Решение. Представим св. X1 в виде:
X1 - 2 х?\
где Х[г) — индикатор события А в /-м опыте:
Jl— если в J-M опыте событие А произошло, 1 "~ (0 — если в і-м опыте событие А не произошло.
Ряд распределения с. в. Xj1> имеет вид: Аналогичное представление сделаем и для с. в. X2:
где Xf — индикатор события А в /-м опыте:
Следовательно,
у - X1 + X2 = S х?> + S xf = 2" х<„1)+<2>,
0
1
q = 1 — P
P
0
1
g==l — P
P
'1
"2
П1+П2
302
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
іде X^0"1 (2)если индикатор события А:
0
1
7-І - р
P
Таким образом, мы показали, что с. в. У есть сумма (пі + п2) индикаторов события А, откуда следует, что с. в. У распределена по биномиальному закону с параметрами (я, + и2), р.
Заметим, что если вероятности р в различных сериях опытов различны, то в результате сложения двух независимых с. в., распределенных но биномиальным законам, получится с. в., распределенная не по биномиальному закону. >
Примеры 3 и 4 легко обобщаются на произвольное число слагаемых. При композиции законов Пуссона с параметрами аи я2, ,,., ат снова получается закон Пуассона с параметром а(т) = A1 + az +... + ат.
При композиции биномиальных законов с параметрами (пи р); (я2, р); ..., (дгт, р) снова получается биномиальный закон с параметрами (гс(те), р), где л(т) — = п{ + пг +... + пт.
Мы доказали важные свойства закона Пуассона и биномиального закона: «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов одинакового типа получается закон того же типа (различаются только параметры этого закона). В п. 9.7 мы покажем, что таким же свойством устойчивости обладает нормальный закон.
9.5, Закоп распределения функции
нескольких случайных величин.
Композиция нескольких законов распределения
Рассмотрим задачу об отыскании закона распределения св. У, представляющей функцию системы св. (X1, Аг2, Xn) с плотностью /(х,, J2, я,,):
У-Ф№, Xt9 Xn). (9.5.1 у
Сделаем гипотезу, состоящую в том, что подсистема с. в. {X2, X5, ,.., Xn) лежит в пределах элементарного
9.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
363
(п — 1)-мерного параллелепипеда, примыкающего к точке (хг, X3j ..., Xn):
(^2» • • 'і %п) <=
(х2, X2 + dx2) (X31 x3 + ^x3)
(xn, xn + rfx,,)
(X2, X3, ..., Xn) (
(х2, x2 + dx2) (xr x3 -f ^x3)
(xn, rn + dxH) j
/2,3».. .n («**2> ^"з? • • • j ^n) dx2dxs
dxn
где
/2,3,...,71 (^2» •^3» • • •i •^") — j • • •» Xn) dx±t
— 00
Тогда, применяя тот же прием, что и в п. 9.3, получим:
OO OO
С(у) « J (п-1) J i j /112,3.....72 Cr11 ^2,.. .,х„)ЛгЛх
-oo -oo I (о; (X1.....хп)<у) J
X /2,3,...^(?. • • •> • • • dxn. (9.5.2)
Последнюю формулу можно записать в векторном виде:
G(y)- J /Йс? (9.5.3)
—>
где х = (хь ^2, ..., Xn).
