Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Y = G'1 (X)1 (9.2.2) где G*"1 (х)-~ функция, обратная требуемой функции распределения G(у).
Изобразим функцию распределения G (у) на графике (рис 9.2.1). Если эта функция непрерывна и строго монотонна, то и обратная функция G~* (х) также непрерывна, В этом случае функция распределения с. в. Y
G(V) G(V)
P{Y<y) = P{X<G(y)}= J f(x)dx~ J l.dx = G(y)x
—оо О
(9.2.3)
что и требовалось доказать.
*) Значение такой с. в. получают на ЭВМ с помощью так навиваемых «датчиков случайных чисел» (или «псевдослучайных чисел»).
1
G (У)
Х<х I*
\
Г 1
I
' I
r0 Y У,
У
У<у
Рис. 9.2.1
348
ГЛ, 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Следовательно, для получения значения у непрерывной св. Ус функцией распределения G (у) нужно поступать следующим образом:
1. «Разыграть» на ЭВМ значение х с в. X, распределенной равномерно на интервале (0,1) (программа RANDO для ЕС ЭВМ, программа RANDU для ЭВМ CM 4, операторы RANDOMIZE, RND для персональных ЭВМ).
2. Найти обратную функцию G""1 (х) по отношению к G (у) и вычислить значение у с в. У по формуле
У = G^(X).
Если св. У дискретная, то ее ф.p. G(у) представ* ляет собой ступенчатую функцию (рис. 9.2,2) и обратная функция G"l(x) не однозначна. Поэтому формула (9.2.2)
G(y)
Pn
>гс:
P2 Pf
I I I I I I
J_L
Рис. 9.2.2
не может быть применена для получения значения с. в. У. Ранее в п. 3.3 было показано, что P {Y — у\) = р\ (і =* = 1, ..., п) равно величине скачка ф. p. G(у) в точке t/< (рис 9.2.2). Таким образом, участок оси ординат от О до 1 можно разбить на п непересекающихся отрезков:
Ai(O; P1W A2 = (W Pi + лі;
Аз = (Pi + Рг> Pi + P2 + РзК ¦ • •» Ai =
= (Pi + P2 + . •. + Pi-ir Pi + P2 + ^ - + Pd. -. м А« —
(? PiJl]; (9.2.4)
при этом длина і-то отрезка А,- равна pi = 2, п). Тогда можно предложить следующий способ «розыгрыша» значения у с в. У, имеющей ряд распределения
»1
Уп
Pl
P3
...
Pn
9.2. получение случайной величины 349
Рис. 9.2.3
распределения смешанной с в. У, имеющая три дискретных зпачения (уи угУ Уз) с вероятностями pi, Pz1 Pi1 два участка непрерывного возрастания: (і/і, у2]\ (у3, Уі] и один горизонтальный участок (у2> у і].
В случае смешанной с. в. У поступают следующим образом:
1. Разбивают интервал (0, 1) на к +1 непересекающихся интервалов, где к — число дискретных значений св. У, Z — число участков, где функция G(у) непрерывна и строго монотонна. Порядок такого разбиения показан на рис. 9.2.3.
2. «Разыгрывают» на ЭВМ значение х с. в. X, распределенной равномерно на участке (0, 1).
1. Разбить интервал (0, 1) на непересекающиеся участки Ai (i = 1, 2, ..., длиной ри p2t ..., рп.
2. «Разыграть» на ЭВМ значение х с. в. X, распределенной равномерпо в интервале (0, 1).
3. Определить, какому из интервалов Д< принадлежит значение X с.в. X. Если х<= At, то св. Y = у{. Действительно,
P(XeAi}= J f{x)dx = 2 rh- S Pb = P1=
= R(^ = ^} (*-1, 2A...f Ii).
Заметим, что указанный способ разбиепия не единственно возможный, но его можно предложить как наиболее простой.
Если св. Y смешанная, то ее ф.р. G(у) имеет скачки, горизонтальные участки и участки монотонного возрастания (рис. 9.2.3). На рис. 9.2.3 изображена функция
350
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
3. Если значение х с. в. X попадает на интервал А* (#<=Дг), отвечающий скачку функции распределения в точке уи то полагают У = у{ (i = 1, 2, ..., к).
4. Если значение х с. в. X попадает на иптервал А;, на котором G (у) непрерывно возрастает, то полагают
У "GT1 (х) (; = 13 2,...,Z), (9.2.5)
где GJ1 (х) — функция, обратная функции G (у) па /-м участке непрерывного возрастания.
Если необходимо получить значения уи y2l ..уп системы непрерывных св. (Уь У2, ..У„), имеющей функцию распределения G (у I1 y2l уп), то поступают следующим образом. На основании формулы (7.8.14') запишем:
G2Il &2Ы = J /2|і (*/2 Ul) ^
— оо
G3|i,2 (Уз I Уі> — J /зц,2 (Уз 101. Уі) dy,..,
— OO
Правило получения значений уи y2l ..., уа системы св. (У4, Y21 Yn) сводится к следующему:
1. «Разыгрывается» значение х{ св. Xh распределенной равномерно в интервале (О, 1), и по ф.p. G1(Iz1) получаем у{ — значение св. У4: Vi=G^(Xj)1 гдеG±l (X1)--функция, обратная функции Gt(y).
2. Разыгрывается зпачеиие X2 с в. X21 распределенной равномерно в интервале (О, 1), и по ф, p. G2[i(y2\y{) получаем у2 — значение с в. Y2: V2=G2]I (? І Уі)> где G2Ii1 (х21 IZ1) — функция, обратная функции G2\X{y2\y{).
В качестве аргумента уі ф. p. G2{i(y2\yi) берется то зпачепие уі, которое было получено в пункте 1.
3. Разыгрывается значение х3 с в. Х$1 распределенной равномерно в интервале (О, 1), и по ф. р. С31і.2(^зі^і» у2) получаем уз — значение с в. У3. В качестве аргументов уи у% ф. p. G3Ii,2 (Уз I Уи Уъ) беруТСЯ ЗНаЧвНИЯ IZi и JZ2,
полученные в пунктах 1, 2 и т. д.
Если с. в. Уі, Y21 ..., Yn независимы, то
G(JZi, Jz2, .... уп)= G1(JZ1). G2(y2).. .Gn(yn). В этом случае задача упрощается. Разыгрывают значе-
