Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


Р{\Х-тх\^а)^л (10.1.2)
где а — любое положительпое число.
Неравенство (10.1.2) ограничивает сверху вероятности больших отклонений с. в. от ее математического ожидания.
Докажем неравенство (10.1.2) спачала для непрерывной с. в. X с плотностью f(x). Событие Л, состоящее в том, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания тх будет не меньше, чем а:
А = {\Х — mj > а) (Ю.1.3);
представляет собой попадание случайной точки X за пределы участка (тх — а; тх+<х) на оси абсцисс
ос ОС
D тх~ос тх т॰° х
Рис. 10.1.1
(рис. 10.1.1); на рис 10.1.1 эта зона оси абсцисс (включая крайние точки тх — а и тх + а) отмечены жирной линией и жирными точками*). Вероятность попадания X в эту зону
Р{\Х-тх\^а}~ - j J(x)dx+ J /(*)Ar-l— J f(x)dx. (10.1.4)
— oo mx-\-а Год—a
*) Для непрерывной случайпой величины X P(X = тх — а} = р |Х — тх+ а}= 0, но мы не будем отбрасывать знак равенства в (10.1.3), имея в виду дальнейший переход к дискретным и смешанным с. в.
10.1. ЗАКОН больших чисел 401
Теперь вычислим дисперсию случайной величины X:
+ 00 OO
Dx = J (х — mxf f (х) dx = J IX — тх\2f(x)dx, (10,1,5)
— ОО —OO
Заменим в правой части (10.1.5) всю область интегрирования на множество точек, для которых (х — тх)2** **<х\ от этого интеграл увеличиться не может:
Dx> J \x-mx\*f(x)dz + j* \x-mx\*f(x)dx.
—оо тх4-а
(10.1.6)
Теперь заменим в правой части (10.1.6) величину \х — тх\2 на величину а2, не превосходящую ее; от этого опять-таки выражение (10.1.6) больше не станет:
Д>а2 J f(x)dx + a? j 1(x)dxx (10.1.6')
— оо ТПХ+<Х
то есть
Dx > а2Р (j X - TYtx I > а}, (10.1,7)
Деля обе части (10.1.7) на а2>0, получим доказываемое неравенство Чебышева (10.1.2).
Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения Xi, х2, ... с вероятностями ри р2, вместо интегралов в формулах (10.1.4), (10.1.6), (10.1.6у) ставятся суммы, распространяемые на те значения для которых \xi — mx\ ><х. Предоставляем читателю проделать эти выкладки самостоятельно. Для смешанной случайной величины X соответствующие формулы будут содержать как суммы, так и интегралы.
Пользуясь неравенством Чебышева (10.1.2), оценим сверху вероятность того, что случайная величина X с любым законом распределения отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на Зох, где ах = = УDx; полагая в (10,1.2) а = 30*, получим:
P {| X - I > Зо*} <o2/(3o*)2 = 1/9, (10.1.8)
то есть для любой случайной величины вероятность не^ выполнения «правила трех сигма» не превышает 1/9.
402 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Сформулированное правило, вытекающее из неравенства Чебышева и относящееся к любой случайной величине с любым законом распределения, дает нам в первом, грубом приближении «правило трех сигма» — пользуясь этим правилом, мы никогда не ошибемся больше, чем на 1/9 вероятности. В действительности, для большинства случайных величин, встречающихся на практике, ошибка «правила трех сигма» существенно меньше. Рассмотрим несколько примеров на применение неравенства Чебышева при а = За*, в каждом из которых сравпим точное значение P {| X — тх | ^ За*} с его верхней оценкой 1/9.
, Пример 1. Случайная величина X —индикатор события А с вероятностью р — имеет два возможных значения: 0 с вероятностью g = 1 — pule вероятностью р:
X
0
1
<7
P
(*)
Мы знаем, что тх = р\ Dx = pq (см. п. 3.3). Вычислим, пользуясь распределением (*), точное значение вероятности P {| X — p\^^Vpq\\нетрудно убедиться, что опо зависит от toro, какова вероятность р:
(р при р<0,1; Р[\Х-р\^3 V]~~q\ - 0 при O1Kр<0,9; (**)
[q при р ^ 0,9.
Действительно, при р = 0,1, 3V/?g = 0,3; единственное значение св. X, отклоняющееся от р = 0,1 больше, чем на 0,3, есть 1, а его вероятность равна р; то же будет и при р<0,1. Для больших вероятностей р> 0,9 единственным значением св. X, отклоняющимся от р больше, чем на Зах, будет 0, а его вероятность равна д.
Из (**) видно, что вероятность события IX — р\> >3l/pq не больше, чем р при малых р и не больше, чем 1— р = q при больших р\ значит, она ни при каких условиях не превосходит 0,1, что меньше, чем 1/9, даваемое неравенством Чебышева. При значениях 0<р<0,9 ошибка «правила трех сигма» вообще равна нулю. >
Пример 2. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами пир:
Р{Ы} = ЙЛИ (<7 = !-/>; *-0, 1,2, л).
ЮЛ. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 403
В этом случае тх = пр\ Sgx = S}'pqn. Вероятность невыполнения «правила трех сигма»
P [| X - пр I > 3 V^Pq) = P[X<rcp-3 V npq) +
+ p[X^np + 3Vwq) =
[np—aYnpq] п
= 2j ^nP q + Zi ^nP q , где _
~ i rap + 3 ]/npq — если это число целое,
\[пр + З У npq] +1 — если число пр + З Vnpq дробное^
[я] — целая часть числа х.
Подсчеты для конкретных значений пир показывают, что эта вероятность существенно меньше 1/9. Предоставляем читателю проверить это самостоятельно. >



