Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


П-»0О
Rh (X711 Уп, Фп)-^іі*(х, (10.1.28)
Одно из инженерных приложений этой теоремы следующее. Входные воздействия на техническое устройство (ТУ) представляют собой случайные величины Xn, Уп,... ..., Wni сходящиеся по вероятности при увеличении п к неслучайным. Выходная величина ТУ определяется по формуле R(X111 Yn, Wn), где R — рациональная функ-
І0.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
413
ция. В этом случае при достаточно большом п в качестве выходной величины ТУ можно приближенно рассматривать неслучайную величину г/, ..., w).
Заметим, что никаких ограничений на зависимость (или независимость) с. в. Zn, Yn, ..., Wn при этом не накладывается.
10.2. Центральная предельная теорема
Одно из важнейших положений теории вероятностей — так называемая центральная предельная теорема. Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Во всех формах закона больших чисел устанавливается факт сходимости по вероятности каких-то случайных величин к постоянным, не случайным — при увеличении п — числа опытов или числа наблюдаемых случайных величин.
В данном пункте мы рассмотрим другую группу предельных теорем, а именно теоремы, определяющие условия возникновения нормального распределения (закона Гаусса). Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы.
Кое-что об этих условиях (на чисто описательном уровне) мы уже говорили раньше (гл. 6), там, где впервые встретились с нормальным распределением. А именно, нормальное распределение возникает тогда, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы.
В практической деятельности инженера такая обстановка встречается нередко.
Пусть, например, рассматривается отклонение Yn выходного параметра большой интегральной схемы (БИС) от номинала. Это отклонение (при известных допущениях) может быть представлено как сумма п элементарных отклонений, связанных с отдельными причинами:
Уп=І*і, (10.2.1)
і=і
где, например,
X1 — отклонение, вызванное влиянием температуры; X2 — отклонение, вызваппое влиянием влажности воздуха;
414 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
и т. д.
Число п этих элементарных отклонений весьма велико, как и число п причин, вызывающих суммарное отклонение Yn: обычно слагаемые Xi, X2, ..., Xn сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Действительно, если бы какая-то из случайных величии Xi, X2, ..., Xn оказывала существенно большее влияние на рассеивание суммы, чем все остальные, было бы естественно Припять специальные меры для того, чтобы устранить главную причину рассеивания; поскольку такие меры не предпринимаются, можно предположить, что оставшиеся случайные слагаемые сравнимы по порядку своего (равномерно малого) влияния на рассеивание суммы.
Нормальный закон широко распространен в технике; в большинстве случаев ошибки измерения параметров, ошибки выполнения команд, ошибки ввода различных величин в техническое устройство распределены по нормальному (или близкому к нормальному) закону; такая ошибка обычно может быть представлена в виде суммы многих «элементарных ошибок» X1-, каждая из которых связана с отдельной, практически независимой от других, причиной.
Именно в применении к теории ошибок был впервые обоснован Лапласом и Гауссом нормальный закон.
Нормальный закон широко распространен в биологии: вес, размер и другие параметры представителей растительного и животного мира во многих случаях имеют нормальное распределение, так как их разброс вызван суммарным воздействием многих факторов, среди которых нет доминирующих по своему влиянию.
Центральная предельная теорема в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.
Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых X11 X2, ..., Xn. Чем жестче эти условия, тем легче
X3 — отклонение, вызванное ошибкой ввода какого-либо параметра;
X4 — отклонение, вызванное недостаточной чистотой материала изделия;
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
415
доказывается теорема; чем они шире, тем труднее доказательство. Здесь мы докажем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно, центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых.
Теорема. Если X1, X2, ..., Xn, ...-— независимые случайные величины, имеющие одно и то оке распределение с математическим ожиданием m и дисперсией о2, то при увеличении п закон распределения суммы
Yn = 2 Xk (10.2.2)
неограниченно приближается к нормальному.
Доказательство. Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин (для дискретных оно будет аналогичным). Применим для этого аппарат характеристических функций*). Согласно свойствам, доказанным в п. 8.9, характеристическая функция суммы (10.2.2) равна произведению характеристических функций слагаемых. Случайные величины X1, X2, ..., Xn имеют одну и ту же плотность /(#), а значит и ту же характеристическую функцию ftxit). Не нарушая общности, можно перенести начало отсчета всех случайных величин X1, X2, ..., Xn в их общее математическое ожидание т; это равносильно их центрированию и, значит, тому, что м. о. каждой из них будет равно нулю.



