Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


Если имеет место гипотеза Ни функция распределения св. X равна F{(x). Требуется найти полную («усредненную») функцию распределения F(x) случайной величины X с учетом случайности ее закона распределения. По определению
F(X)- P {X <х).
Найдем эту вероятность по формуле полной вероятности с гипотезами II и Я2, ..., Hn:
F(X)=ZP (Hi) Fi (х) - І P1F1 (х). (9.8,1)
i=l i=l
Если св. X непрерывна, то, дифференцируя (9.8.1), получим выражение для ее плотности:
/(*)-*'(*)-S Рі/іОг). (9.8.2)
Нетрудно убедиться, что функция распределения (9.8.1) и плотность (9.8.2) обладают свойствами функции распределения и плотности: F(x) не убывает при возраста-
OO
пии ж; F(-oo) = 0; F(+~)=l; /(*)>0; J /(*)dar- 1.
— OO
Возникающее таким образом распределение называется вероятностной смесью распределений.
390 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Найдем математическое ожидание и дисперсию смешанного распределения (9.8.1) или (9.8.2). По формуле полного математического ожидания находим:
M [X] - 2 p.mh (9.8.3)
i-i
где rrii — условное м. о. случайной величины X при условии, что имела место гипотеза //,-.
Может показаться, что и дисперсию случайной величины X можно найти точно таким же способом; но это не так (в ее выражение входят условные математические ожидания, различные при разных гипотезах), что касается второго начального момента а2[Х], то он, как м.о. квадрата св. X1 находится аналогично (9.8.3): по формуле полного математического ожидания
аг [X] = M [ХЧ = І р.а<'> [X], (9.8.4)
і = 1
где а2г)[Х]— второй начальный момент св. X прп гипотезе Н{.
Дисперсия с в. X вычисляется по формуле
D [X] =а2 [X] - (M [X]?. (9.8.5)
Пример 1. В партии изделий, состоящей из N экземпляров, N1 изготовлены заводом Зі, N2 — заводом 32 (N1 + N2= N). Время безотказной работы изделия завода Зі имеет показательное распределение с параметром
завода 32 — показательное распределение с параметром А*. Найти плотность f(t) времени безотказной работы изделия наугад выбранного из партии в N изделий.
Решение. Имеем две гипотезы:
H1 — изделие принадлежит заводу 3lt
H2 — изделие принадлежит заводу 32.
Вероятности гипотез
P1 = P (H1) = P2 = P(H2)=^.
Смешанная плотность
/ (t) = VV + Р*V~V (t > 0). (9.8.6)
Распределение (9.8.6) в общем случае уже не будет показательным. >
9.8. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
391
Задача 1. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых. Рассмотрим с. в. Z, представляющую собой сумму случайного числа случайных слагаемых:
2-і Хн (9.8.7)
где случайные величины X1 независимы между собой и имеют одинаковую плотность f(x), а дискретная св. Y не зависит от величин X* (J = O, 1, 2, ...) и принимает неотрицательные целочисленные значения 0, 1, 2, ... ..., к, ... Известно распределение дискретной с. в. Y;
pk = P{Y = k} (Л-0, I1 2, ...)«
Требуется найти закон распределения св. Z,
Решение. Сделаем гипотезу, состоящую в том, что с. в. Y приняла значение к > 0. В этом случае условная плотность с. в. Z представляет собой композицию к плотностей /(#); обозначим эту композицию
/(*> — /¦/¦...¦/.
к раз
Если св. Y приняла значение 0, то в сумме нет ни одного слагаемого: Z = O, и это значение обладает отличной от нуля вероятностью; в нем функции распределения G(z) случайной величины Z имеют скачок, равный р0.
При 2, отличном от 0, функция G(z) непрерывна. Найдем ее выражение. По формуле полной вероятности
G (z) = p {Z < Z) = 2 PhFW (z), (9.8.8)
к
где Fih) (г) — функция распределения суммы к независимых случайных величин с плотностью /(#).
Итак, случайная величина Z--величина смешанного типа; она имеет одно значение 0 с отличной от нуля вероятностью Po, а при Z > 0 представляет собой вероятностную смесь распределений с плотностями P (%)', нроизводпая G(z) равна
к
Пример 2. Рассматривается работа ремонтной бригады. За ограниченное время t приема заявок на опре-
392 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
деленный вид ремонтных работ поступает случайное число заявок Y1 распределенное по закону Пуассона с параметром а; прием заявок за время t неограничен. Закон распределения времени Т{ ремонта по г-й заявке — показательный с параметром \х (? = 1, 2, ...). Случайные величины Ti независимы, одинаково распределены и не зависят от числа принятых заявок У. Найти закон распределения и числовые характеристики времени T выполнения всех заявок, поступивших за время t: T = \.
A=O
Решение. Вероятность того, что за время t поступит ровно к заявок на ремонт, равна:
рк = а*е-аШ (к = О, 1, 2, ...)\
Если не поступит ни одной заявки (к = 0), то время ремонта будет равно пулю: T0 = 0.
Если поступит к заявок, время ремонта будет распределено по закону Эрланга &-го порядка (см. (6.4.8)):
/<*>(t) =\1№)к~1е-**/(к- 1)! = \хР(к- 1, ixt) (t>0, /с>0),
где Р(к, а) —табличная функция пуассоновского распределения (приложение 1). Случайная величина T является смешанной, принимающей значение J = Oc вероятностью Po] при t>0 F(t) пепрерывна и имеет производ-



