Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ранг преобразования А равен столбцовому рангу матрицы А.
Если ранг равен размерности т пространства Э.Л, то отображение А является взаимно однозначным. Если, кроме того, размерность пространства 9? равна размерности пространства ЭЛ, то пространство-образ ЛЭЛ равно 9?, и в этом случае налицо взаимно однозначное линейное отображение Л пространства ЭЛ на пространство 9?. Такое преобразование Л называется неособым\ тем же термином характеризуется и матрица А —неособая. Таким образом, квадратная матрица является особой лишь тогда, когда ее столбцовый ранг меньше т.
Являясь взаимно однозначным, неособое линейное преобразование Л обладает обращением, т. е. преобразованием Л-1, действующим обратным по отношению к Л способом и, следова-
§ 23] ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 93
тельно, удовлетворяющим равенству
л-1 А = /, (13)
где /— тождественное преобразование или тождество, которое переводит каждый вектор х в себя. Матрица этого преобразования единичная:
1 0 ... О О 1 ... О
/ =
О 0 ... 1
Если осуществить сначала преобразование А1, а затем — преобразование А, то точно так же получится тождество
ЛЛ-Х = /. (14)
Равенства (13) и (14) можно записать и как матричные равенства:
Л-М = ЛЛ-1 = /. (15)
Чтобы вычислить матрицу Л-1 эффективно, нужно решить
систему уравнений (8) относительно неизвестных хк при известных у‘; лучше всего воспользоваться методом последовательного исключения (§ 22). В качестве решения получается
хк = ^Ь)у>. (16)
Матрица В = ||^| является как раз искомой обратной матрицей Л-1.
Выясним теперь, как меняется матрица Л преобразования А, когда в пространствах Я)( и вводятся новые базисы. Старые базисы обозначались через ри ..., рп и ..., дт; новые обозначим через р\, ..., р'п и ..., Новые базисы выра-
жаются через старые так:
/>;=!>//• <17)
9/= _??*?/• (18)
Коэффициенты и образуют неособые матрицы Е и б. Пусть обратная к в матрица б-1 обозначена через Н. С помощью этой матрицы Н =|]^|| можно разрешить равенства (18) относительно
= (19)
Матрица Л получается в соответствии с (7), когда Ар, выражаются через <7а:
АР] 1] ЧкЩ. (20)
94 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ IV
Чтобы получить новую матрицу, выразим Ар\ через q'p Ар, = X (Ар,) /' =» X qkaffi = X Следовательно, новая матрица такова:
Л' = ЯЛР = С-МР. (21)
В частном случае 9Л=Л, F — G получается
A'=F~lAF. (22)
Задача 1. Неособые линейные преобразования векторного пространства 24 в себя образуют группу относительно умножения.
Задача 2. Если для двух линейных преобразований пространства 24
в пространство 54 определить сумму А~\-В равенством
(А +В) х = Ах+Вх,
то А-{-В вновь будет линейным преобразованием. Его матрица является суммой матриц А и В, т. е. ее элементы таковы:
c‘k = ak + bk-
Транспонированное преобразование А‘. Каждому преобразованию А пространства ЭЛ в пространство Л соответствует преобразование А*, которое отображает двойственное пространство в двойственное пространство ЭЛА Действительно, если © — фиксированный ковектор из 9?d и х — переменный вектор из ЭЛ, то скалярное произведение
V- Ах
является линейной формой по х, т. е. скалярным произведением вектора х с некоторым ковектором и:
©• Ах = и- х. (23)
Этот ковектор и, очевидно, линейно связан с ©. Следовательно, можно положить
и = А% (24)
и получить равенство
©• Ах — A*v ? х. (25)
Определенное в (25) преобразование А1 называется транспонированным по отношению к А.
Равенство (23), переписанное в координатах, выглядит так:
Отсюда следует, что
ик = X и‘а‘кш
Матричные элементы преобразования А1 являются, таким образом, элементами alk, но теперь k означает номер строки, a i —
ТЕНЗОРЫ
95
номер столбца. Так получаемую матрицу называют транспонированной и обозначают через А
Задача 3. Ранг преобразования At равен рангу преобразования А.
Задача 4. Ранг преобразования А' равен также строчечному рангу матрицы А, т. е. числу линейно независимых строк. При этом строки рассматриваются как элементы некоторого левого векторного пространства, а столбцы — как элементы правого векторного пространства.
Задача 5. Из задач 3 и 4 следует, что строчечный ранг матрицы А равен ее столбцовому рангу.
§ 24. Тензоры
Пусть ЭЛ — некоторое «-мерное векторное пространство и ръ рп — его базнс над полем К• Векторы пространства ЭЛ представляются, следовательно, в виде
Х=р1Х1+---+РпХп. (1)
Рассмотрим билинейные формы f (х, у) со значениями в К, т. е. функции от двух векторов х, у со следующими свойствами:
f(x+y, z)=f{x, z)+f(y, z), (2)
f(x, y + z)=f(x, y)+f(x, z), (3)
f(xa,y)=f(x,y)a, (4)
f (x, yb) = f (x, y) b. (5)
Билинейная форма f {x, у) оказывается заданной, как только заданы значения
tik = f{Pi,Pk)• (6)
Действительно, в этом случае
/ (*. Л) = / (2 Р‘х‘> 2 Р*У*) = 2 V. <7)
где суммирование ведется по всем i и k от 1 до п. Элементы tik называются координатами билинейной формы /. Выберем tik в основном поле К произвольно; тогда форма, определенная с помощью (7), обязательно обладает свойствами (2) —(5). Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и системами из п2 их координат \tlk\.
