Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
a — cd = abd,
1 =bd,
и элемент d был бы обратимым.
Простой элемент можно теперь определить как такой ненулевой элемент, у которого нет необратимых собственных делителей.
Если в евклидовом кольце элемент b является собственным делителем элемента а, то g (b) <g{a).
Доказательство. Деление элемента b на элемент а ввиду условия невозможно; поэтому
b = aq + r, g(r)<g(a).
Отсюда следует, что если а = Ьс, то
r = b — aq — b( 1 — cq),
g(r)^sg(b), так что g(b)^g(r)<g(a).
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
77
В евклидовом кольце каждый ненулевой элемент а является произведением простых элементов:
а — Р1Р2 ••• Рг-
Замечание. Эту теорему можно доказать в более общей ситуации для колец главных идеалов, но тогда пришлось бы использовать аксиому выбора (§ 69). В данной элементарной части книги аксиома выбора не обсуждается, поэтому доказательство проводится только для евклидовых колец.
Доказательство. Проведем индукцию по числу g (а). Пусть утверждение верно для всех тех элементов Ь, для которых g{b)<.n, и нусть g (а) —п. Если элемент а прост, то доказывать нечего. Если же элемент а разложим: а = Ьс, где b и с —собственные делители элемента а, то
g{b)<g(a), g (с) <g(a).
По предположению индукции элементы b и с являются произведениями простых элементов. Следовательно, а = Ьс также является произведением простых элементов.
Выясним теперь, как обстоит дело с однозначностью разложения a — piPi ... рг на простые множители и при этом рассмотрим не только евклидовы кольца, но и произвольные кольца главных идеалов.
В произвольном кольце главных идеалов неразложимый элемент, отличный от обратимого, порождает максимальный идеал (кольцо классов вычетов по которому является, следовательно, полем).
Доказательство. Если элемент р неразложим, то у него нет необратимых собственных делителей; следовательно, с учетом того, что каждый идеал по условию является главным, идеал (р) не имеет собственных делителей, кроме единичного идеала.
Замечание. Конечно, разрешимость уравнения йх = Ь в кольце классов вычетов или сравнения ах = Ь(р) в заданном кольце можно было бы вывести из того факта, что для а^О(р) обязательно (а, р) = 1 и, следовательно,
1 = ar + ps, b = arb + psb, b = arb (p).
Вот непосредственное следствие этого утверждения.
Если некоторое произведение делится на простой элемент р, то один из сомножителей должен делиться на р, потому что в кольце классов вычетов нет делителей нуля.
Задача 1. Решить сравнение
6х = 7 (19)
с помощью алгоритма Евклида.
78
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Задача 2. Если в некотором кольце главных идеалов произведение аЬ делится на с и элемент а взаимно прост с элементом с, то Ь делится на с.
Мы в состоянии теперь доказать теорему об однозначности разложения на простые множители в кольце главных идеалов. Пусть
а — Р1Р2 рг — Я1Я2 ? ?•Я* (!)
— два разложения одного и того же элемента а в кольце главных идеалов. Тривиальный случай, в котором а является обратимым и, следовательно, все р1 и <7; обратимы, мы исключим сразу. Поэтому можно предположить, что рх и цх необратимы и что все участвующие в выражении (1) делители единицы уже объединены с элементами рх и соответственно <7г. Следовательно, рг и не являются обратимыми. Утверждается: имеет место равенство г = & и элементы р; совпадают с элементами <7, с точностью до порядка их следования и с точностью до умножения на обратимые элементы.
Для г = 1 утверждение очевидно, потому что в силу неразложимости элемента а = рг произведение цх... может содер-
жать лишь один множитель цх = рх. Таким образом, мы можем провести индукцию по г. Так как рх входит в произведение Цх . . . элемент рх должен ВХОДИТЬ в ОДИН ИЗ сомножителей <7;. Перенумеровав элементы ц, мы можем добиться того, чтобы рх входил именно в цх:
<71 = ехрх. (2)
Здесь ?! должно быть делителем единицы, так как иначе цх не был бы простым элементом. Подставим (2) в (1) и сократим на рх:
р2---Рг = (е1<72) <7з• • • Я*- (3)
По предположению индукции сомножители в (3) слева и справа совпадают с точностью до делителей 1. Так как и рх совпадает с <7г с точностью до обратимого элемента все требуемое
доказано.
Из доказанных теорем следует: все элементы евклидова кольца однозначно с точностью до делителей единицы и порядка следования множителей разлагаются в произведение простых элементов. В частности, это утверждение выполняется в кольце целых чисел, в кольце многочленов от одной переменной с коэффициентами из некоторого поля, а также в кольце целых гауссовых чисел.
Задача 3. Целочисленные многочлены ((х) по модулю любого простого числа р однозначно разложимы на неразложимые по модулю р множители.
Задача 4. Каковы делители единицы в кольце целых гауссовых чисел? Разложить числа 2, 3, 5 в этом кольце на простые множители.
Задача 5. В кольце чисел а-\-Ь V —3, где а и Ь — целые числа, число 4 разлагается на простые множители двумя существенно различными способами:
4 = 2-2 = (1 + К-3)(1-/-3).
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
79
Задача 6. В кольце главных идеалов классы вычетов по модулю а, состоящие из взаимно простых с а элементов, образуют группу по умножению.
