Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь следует напомнить о том, что в алгебре обращение в нуль многочлена от хъ ..., хп означает равенство нулю всех его коэффициентов и не определяется через равенство нулю всех его значений на всевозможных конкретных наборах значений переменных хъ ..., хп. Поэтому последняя из сформулированных теорем не является тавтологией.
Задача 1. Распространить последнюю теорему на конечные системы многочленов іі(хх, ..., хп), ни один из которых не равен нулю.
Задача 2 (Определитель Вандермонда)1). Доказать, что
= П (хі — X/).
і > і
1 ^ .
1 х2 . уП—\ ?
1 Хп. „4 — 1 • хп
§ 29. Интерполяционные формулы
Вернемся к случаю многочленов от одной переменной; в качестве кольца коэффициентов теперь будет рассматриваться некоторое поле. Согласно доказанным выше теоремам два многочлена степеней ^п, значения которых совпадают в п-{-1 различных точках, оказываются равными, потому что их разность — многочлен степени, не большей п, — имеет в этом случае п-\-1 корень. Следовательно, существует самое большее один многочлен, который в заданных п-\-1 различных точках ап, ап принимает заданные значения /(«;). С другой стороны, всегда существует
!) Добавлена при переводе, так как используется в дальнейшем. Прим. ред.
§ 29] ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 109
многочлен степени который в этих точках принимает нуж-
ные значения,— это многочлен
п
у /(«г) (* — «о)• ? • (*—«<_1) (*—«ы)• • • (*—«я)
I ~ О
Итак, существует один и только один многочлен степени л, который при заданных п-\-\ различных значениях а0, «ц .... а„ переменной принимает заданные значения /(а/); этот многочлен задается формулой (1). Формула (1) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Многочлен с нужными свойствами можно получить и с помощью интерполяционной формулы Ньютона:
/ (х) = К + (х — а0) -)- Я2 (х — а0) (х — аг)
... + \п(х- а0) (х - аг)... (х - ап-1>, (2)
где коэффициенты А,0, ..., Кп определяются последовательно путем подстановки значений аргумента х = а0, ..., х — ап.
Проводить вычисления лучше всего так: подставим в (2) сначала х = а0; получим
/ («о) = К
Вычтем это из (2) и разделим на х — а0; получится
—^ {х - «х) + • • • + К (х - ос,)... (х - а„_!). (3)
Л - СА>0
Обозначим левую часть через {(а0, х). Подставим в (3) л: = а1; получится
/(а0, сО^.
Вычтем теперь это из (3) и разделим на х — осх; тогда -(а°’ ^ ^ (* ~ «а) + • ? • + К (х ~ аа) • • • (х - а„-1).
X — СЛ]
Обозначим левую часть через / (а0, а1( х). Подставим теперь х = а2; получится
/(а0, аъ аг) = %2.
Эти вычисления можно продолжить. В общем случае положим (определение с помощью индукции)
/К «.,*)= ....«И-??)*?.••••«»•«?> (4)
и. как и выше, получим
/ (а0, ..., ак-ъ х) = Хк-\- 1 (х — ак) + %п (л: — ак)... (х — ссл-1),
/(а0, ..., ак)=Кк. (5)
110
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Константу / (сс0, ..., ак) называют к-м разностным отношением функции I (х) в точках а0, ..., ак. В силу (4)
о,)-
«1 — «о /(«о, а2) — / (а0, оц)
а2 — аг
г СС 1 / (о^о» ... ) СХд) '/(вЧ)» . .•> &л-2> С6д-1)
/V 0* * * * * л/ /•/______________/*/ *
(6)
&-е разностное отношение может быть определено и как коэффициент при л:к в многочлене ф* (х) степени который в точках
а0, ..., ак принимает значения /(а0), /(а*). Действительно,
этот многочлен задается с помощью интерполяционной формулы Ньютона
Фа (х) = Я0 -{- 7,х (л: — а0) . ,-\-%к(х — а0)...(х — 0?.Л_1),
а коэффициент при хк здесь равен в точности А,Л = /(а0, а*).
Из последнего определения следует, что &-е разностное отношение не зависит от нумерации точек а0, ..., ак. Это свойство
следующим образом используется на практике: если а0, а„,—
например, рациональные числа, расположенные в естественном порядке, то разностные отношения вычисляются всякий раз для следующих друг за другом чисел ау, а потому формула (6) с помощью перестановки чисел ау превращается в формулу
/(сс0, ах, .... ак) =;(а1................*кА- (7)
Поэтому конечные разности можно расположить в некоторую схему по следующему принципу:
/К) /К. «1)
/К) /(а0. <Д, а2)
/ («1, а2)
/Ы /(«1. “г. а3)
/ (а2> “3)
/К)
Каждый последующий столбец получается по формуле (7) путем составления первых разностных отношений предыдущего столбца. Эту схему можно как угодно расширить, вводя все новые и новые исходные точки. Если / (я) — многочлен л-й степени, то в (л + 1)-м столбце всюду стоит одна и та же константа,
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
111
а именно коэффициент Хп при хп. В (« + 2)-м столбце в этом случае стоят нули.
Арифметические прогрессии высших порядков. Будем считать, что основное в наших рассмотрениях ноле содержит кольцо целых чисел и что точки а0, аи а2, ... являются последовательными целыми числами, скажем, 0, 1, 2, ... Если в этом случае составить описанную выше схему разностных отношений, то знаменатели ак — ах, а^+1 — а!, ..., которые согласно (7) появляются при вычислении (& + 1)-го столбца, будут все равны &. Если второй столбец умножить на 1, третий —на 2, четвертый —на 2-3 и, вообще, (& + 1)-й столбец на к\, то вместо прежней схемы разностных отношений получится схема разностей
