Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ї(х+у)=ї(х)+Ну), (1)
((ха) = ((х)а.
(2)
ДВОЙСТВЕННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
87
Если векторы л: выразить через п базисных векторов
Рг, •••. Рп
х=рххг + ... +рпхп, то из (1) и (2) получится равенство
/ (х)=}(р1)х1 + ... + !{рп)хп = и1х1 + ... + ипхп, (3)
где щ =/(/?(). Таким образом, линейная форма Цх) — это просто однородная линейная функция координат х1,.хп с коэффициентами ИЗ К? Коэффициенты %,..., можно выби-
рать из К произвольно: с помощью равенства (3) по ним всегда можно определить некоторую линейную форму I (х) со свойствами (1) и (2).
Сумма двух линейных форм является, очевидно, линейной формой. Точно так же любую линейную форму [ (х) можно умножать слева на произвольный скаляр а и получить при этом вновь линейную форму а{(х).
Рассмотрим теперь линейные формы как новые объекты,
которые будем называть ковекторами и обозначать буквами и, V, ... Вместо /(лс) мы будем писать и х я называть это выражение скалярным произведением ковектора и на вектор х. Правила оперирования со скалярным произведением таковы:
и ? {х +_у) = и ? X + и -у, и’Ха = (и-х)а,
(u-{-v)?x = u?x-{-v^x, аи ? х = а (и ? х).
Ковекторы можно умножать слева на элементы а, Ь, ... основного тела К; следовательно, они составляют некоторое левое векторное пространство. Оно называется пространством 2>, двойственному векторному пространству ЭЯ. Если задан базис ръ ... ..., рп пространства ЭЯ, то в силу (3) каждому ковектору и соответствует некоторый набор из п коэффициентов их,..., Обратно, каждому такому набору иъ ... ,ип соответствует один-единственный ковектор и, который определяется равенством
и • х = иххг +... + и„хп. (4)
Коэффициенты их, ..., ип называются координатами ковектора и. Два ковектора и и © складываются, когда складываются их координаты щ и и*. Ковектор и умножается на а, когда умножаются на а слева все его координаты. Следовательно, двойственное пространство 2), как левое векторное пространство, изоморфно левому модельному пространству наборов (иь...,ип), а это означает, что 2) и ЭЯ имеют одинаковые размерности. В случае коммутативного тела К пространство 2) даже изоморфно пространству ЭЯ.
88
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
Ковекторы
д' = (0, 1, 0, 0) (1 на і-м месте)
составляют согласно § 19 базис в 2>. С помощью равенств
этот базис инвариантно связан с базисом ръ ..., рп пространства ЭЛ. Базисы пространств ЭЛ и I), связанные равенствами (5), называются двойственными (друг другу). Координаты произвольного ковектора и в базисе д1, дп — это в точности определенные раньше иъ ..., ип.
Скалярное произведение (4) при фиксированном и определяет линейную форму от х, а при фиксированном х — линейную форму от и. Каждая линейная форма на 3) может быть получена таким способом и поэтому ЭЛ — пространство, двойственное пространству 2).
В качестве подготовки к вопросу о решении системы линейных уравнений мы рассмотрим линейное подпространство Б размерности г в двойственном пространстве 2). Согласно § 20 произвольный базис д1, ..., дг подпространства (5 можно дополнить до некоторого базиса д1, ..., дп пространства X. Согласно § 21 в исходном векторном пространстве существует базис ръ ..., рп, двойственный базису д1, дп, потому что ЭЛ является двойственным пространству 2).
Будем теперь искать такие векторы х пространства ЭЛ, скалярное произведение которых со всеми ковекторами и из а равно нулю:
Для этого достаточно, чтобы выполнялись г линейных равенств:
Если X выразить через базисные векторы ръ ...,/?„ и принять во внимание соотношения (5) из § 21, то легко показать, что (2) эквивалентно условию
(5)
§ 22. Линейные уравнения над телом
и-х — § для всех ие(5.
(1)
д1 ? х = 0 (і= 1, ..., г).
(2)
х1 = 0, ..., хг = 0. Следовательно, искомые векторы х имеют вид Х=рг+1Хг+1+ ••• +РпХп,
(3)
где яг+1, ..., хп — произвольные коэффициенты. В пространстве ЭЛ эти векторы составляют некоторое линейное подпространство
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ТЕЛОМ
89
9? размерности п — г. Оно порождается базисными векторами Рг+1> • • • > Рп?
Обратно, рассмотрим подпространство 9? как заданное с самого начала и будем искать те ковекторы и, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из 9?; в этом случае получится в точности пространство ковекторов б. Мы получили предложение:
Существует взаимно однозначное соответствие между подпространствами 6 размерности г пространства 3) и подпространствами 9? размерности п — г в 99?, определяемое следующим образом: 9{ состоит из векторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми ковекторами из б, а б состоит из ковекторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из 9?1).
Перейдем теперь к теории линейных уравнений. Пусть сначала заданы 5 однородных линейных уравнений с п неизвестными Х^ х^*
2аг<г** = 0 (г = 1, в). (4)
Мы рассматриваем х1, хп как координаты некоторого вектора х пространства 99?. С учетом этого обстоятельства уравнения (4) можно переписать в виде
а{ ? х — 0, (5)
где а* — ковектор с координатами ац, ..., а1п. Если один из ковекторов а1 линейно зависим от остальных, то соответствующее уравнение можно опустить. В конце концов получится система из г независимых уравнений (5). Линейно независимые ковекторы а, порождают в двойственном пространстве 2) некоторое г-мерное подпространство б. В таком случае решения системы (4) составляют в точности ортогональное ему подпространство 91 в пространстве 99?.
