Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А+ = А или йш = ан,
С(Аи, Л«) = С(«, и) или А10А=0,
(18)
для кфі, для к, = I,
или, что то же,
У! ? $і/‘
Аи — Ки,
(19)
в (и, Аи) = й(Аи, и) — С(Ки, и) — Хй(и, = О,
а для унитарного — система равенств
в (и, Аи) = С(АА~1и, Аи) = Е(А-1и, и) =
= Є (А-1«, V) = А_1С (и, и) = 0.
324
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
Как мы уже видели в § 89, собственные значения находятся из векового уравнения
А— (Х11 —^12 •••
%(К)~ —«21 А—а2з =0, (20)
а соответствующие собственные векторы — из линейных уравнений, эквивалентных матричному равенству (19):
2а,й = к|. (21)
Предположим, что поле К вещественно замкнуто (например, является полем вещественных чисел) и поэтому поле К (9) алгебраически замкнуто (ср. § 81); тогда вековое уравнение (20) обязательно обладает корнем Ях в К (9), которому соответствует некоторый собственный вектор ех. Ортогональное к ех подпространство Яп-Х переводится преобразованием А в себя, и на /?„_! преобразование А снова симметрическое или унитарное, если таковым оно было на Рп. Следовательно, по тем же причинам в Яп-х существует некоторый собственный вектор е3, ортогональное пространство к которому внутри Яп-г — обозначим его через —вновь инвариантно и т. д. Таким образом, найдется пол-
ная система из п линеино собственных векторов еи ...,
независимых
Аву — КуСу.
Если перейти к новому базису диагональный вид:
А1 = Р~1АР =
попарно ортогональных
то матрица А примет 0
0
(22)
Ап
сказанному
выше, имеет
Такую нормальную форму, согласно как симметрическое, так и унитарное преобразование.
Если мы нормируем векторы ву условием С (<?у, ех) = 1, а это всегда возможно, потому что поле К вещественно замкнуто и содержит квадратные корни из положительных величин Ь(ву, еф, то форма в на базисе еу окажется равной единичной форме Е. Если матрица А симметрическая, то должна быть симметрической и Лх, совпадающая, следовательно, с Аф, и поэтому
К = К или
Характеристический многочлен матрицы А или матрицы Ах таков:
Х(*) = П(*“^)' (23)
I
$ 90] КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 325
Отсюда: вековое уравнение я/ (л) — 0 симметрической матрицы А имеет только вещественные корни.
Если, кроме того, матрицы А и G вещественны, то вещественны и собственные векторы ev — как решения вещественных уравнений (21). Отсюда: вещественная симметрическая матрица приводится к диагональной форме (22) вещественным линейным п реобразован ием.
С симметрическим преобразованием А инвариантным образом связана эрмитова форма
Я (и, u) = G (и, Аи) = G (Аи, и)
с матрицей
H^GA,
по которой восстанавливается матрица А:
A = G 1Н.
Осуществляя диагональное преобразование с матрицами А и G, мы одновременно действуем и на H = GA\ получающаяся в результате форма выглядит так:
Я (w, ц) = с^с^%у.
Тем самым доказано следующее утверждение:
Любые две эрмитовых формы G, Я, из которых одна, скажем, G, определена положительно, приводятся одновременно одним и тем же преобразованием к виду
G (w, w) = сщц,
Н (ц, ц) =— С\СуКу
Числа Xi являются характеристическими корнями матрицы А — = G^H, или, что то же, корнями векового уравнения
В частности, любые две вещественных квадратичных формы, одна из которых положительно определена, вещественным преобразованием одновременно приводятся к суммам квадратов:
G (и, и) = 2 c'i,
Я (и, и) = 2 cvK-
Общее исследование вопроса о классификации пар квадратичных форм см. в книге: Диксон (Dickson L.E.). Modern Algebraic Theories.—Chicago, 1926.
Задача 1. Если г векторов сд vr порождают пространство Rr, то
векторы, ортогональные к ним, составляют некоторое подпространство Р,п.г, а пространство R„ является прямой суммой Rr-\-Rn.r,
326 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ XII
Задача 2. Если симметрическое или унитарное преобразование Л оставляет инвариантным подпространство Rn то оно оставляет инвариантным и подпространство Rn_r, перпендикулярное к Rr.
Задача 3. Любая система симметрических или унитарных преобразований вполне приводима.
Задача 4. Определитель D любого унитарного преобразования по абсолютной величине равен 1, т. е. DD— I. Определитель вещественного ортогонального преобразования равен ± 1.
Задача 5. Унитарные и, равным образом, вещественные ортогональные преобразования произвольного векторного пространства в себя составляют группу.
§ 91. Антисимметрические билинейные формы
Билинейная форма от переменных хи хп и уи ..., уп с коэффициентами из поля Н
f{x, у) = %а1кХ1ук (1)
б k
называется антисимметрической, если она обладает следующими двумя свойствами:
f{x, y) = — f{y, х), (2)
f(x, х) = 0. (3)
Для коэффициентов это означает, что
O'ik ” ®kh (4)
au = 0. (5)
Введем новые переменные x'l И y'l вместо старых Xi и yk с помощью одного и того же линейного преобразования:
*=2 рчх'ь Uk = 2 Pkiyi'i
тогда форма / (я, у) перейдет в новую билинейную форму
Г {х'> У’) = S a‘k (2 P4x'i) (S PM’1) = 2
которая вновь будет антисимметрической; коэффициенты последней будут задаваться равенствами
П/I ~ PifiikPkl,
или, в матричной форме,
А'=*Р‘АР. (6)
Для определителя D матрицы |аг*|| из (6) получается следующая формула преобразования:
