Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если, наоборот, задано представление кольца о линейными преобразованиями модуля линейных форм ЭЛ над телом К, то из ЭЛ можно сделать двойной модуль, в котором произведения а-и (йес, и е ЭЛ) определены с помощью условий (2). Проверяется, что в этом случае все свойства двойного модуля и равенство (1) выполнены, так что Ш —модуль представления.
Итак, каждому модулю представления соответствует некоторое представление кольца о линейными преобразованиями или после выбора базиса (щ, ..., и„) над К — матрицами над телом К; обратно: каждому представлению соответствует некоторый модуль представления.
Если от базиса (иъ ..., ип) перейти с помощью равенства
(и[ ... и’п) = (и1 ... ип)Р
к какому-нибудь другому базису (и[, ..., и’п), то линейное преобразование, представлявшееся матрицей А, будет представляться матрицей
А' = Р-Х АР.
Элементу кольца а сопоставляется, таким образом, новая матрица А'; в этом случае говорят об эквивалентном представлении. Поскольку переход к эквивалентному представлению является не чем иным, как переходом к другому базису в том же модуле представления (или операторно изоморфном ему), мы приходим к следующему выводу: изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот.
Система линейных преобразований модуля линейных форм ЭЛ, в частности, какое-либо представление кольца, называется приводимой, если все преобразования этой системы переводят фиксированное подпространство Л Ф О, Л ф 2)? в себя. В этом случае Л называется инвариантным подпространством. Если речь идет о представлении кольца о, то ЭЛ можно рассматривать как двойной модуль относительно о и К, а инвариантное подпространство Л — как множество, допускающее все элементы из о в качестве левых операторов. Отсюда следует, что представ-
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
309
ленив кольца приводимо тогда и только тогда, когда соответствующий модуль представления обладает (двойным) подмодулем 9?.
Чтобы выяснить, как выглядят матрицы приводимого представления, возьмем какой-нибудь К-базис в 9? и дополним его до К-базиса модуля 9)1. Таким образом,
91 = у1К-К-- + щК,
9)1 = П/К 4- • • • 4~ щК “1- Ш/К 4- • • ? 4~ До/К.
Тот факт, что произвольное линейное преобразование переводит модуль 9? в себя, означает, что образы элементов V относительно такого преобразования вновь выражаются через о:
^/ = 1] О/СХу + !>,•%•
Положим # = ]1Ру|> ^ = IIII» г = Ку||; тогда это преобразование представится следующей матрицей:
Я 5 II
(3)
О Т
(4)
Следовательно, система матриц приводима тогда и только тогда, когда все матрицы системы могут быть одновременно приведены к виду (4) с помощью преобразования А *—* Р~1АР (выбор нового базиса).
Из (3) следует, что
(и! ... V') = (ох . ... т]) = (шх
ог)-Я,
ш() • Т (гпос! 9?).
(5)
Отсюда усматривается следующее:
Фиксируем в случае приводимого представления кольца о инвариантный подмодуль 91 и фактормодуль 9)1/91 и рассмотрим их как модули представления; тогда получающиеся при этом представления задаются частями Я и Т, указанными в матрице (4).
Если мы выберем в 91 максимальный инвариантный подмодуль 9)1^1, в котором вновь выберем максимальный инвариантный подмодуль 9>1/_2 и т. д., до получения композиционного ряда
9)1 = 991/, 9)1/.,, ..., Э)10 = (0),
то все матрицы представления с помощью подходящего выбора базиса приведутся к виду
Ян 0 ... Я1г 0 Я22 • • • Яг/
(6)
0 0 ... Я/г
310
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1ГЛ. XII
Диагональные клетки Яи задают представления, которые соответствуют композиционным факторам ЭЛг/ЗЛ^; поскольку последние являются простыми двойными модулями (т. е. не содержат инвариантных подмодулей), соответствующие представления неприводимы. Процесс, приводящий к матрицам (6), называется «приведением» представления. По теореме Жордана — Гёльдера (§ 51) композиционные факторы определены однозначно с точностью до порядка следования и операторного изоморфизма. Отсюда: неприводимые представления Яп приведенного представления (6) определены однозначно с точностью до порядка следования и эквивалентности представлений.
Если в системе (3) отсутствуют коэффициенты ст/у-, то это означает, ЧТО не ТОЛЬКО (Цц ..., щ), НО И (10Ц ..., ш() является инвариантным подмодулем, а потому ЭЛ является прямой суммой двух инвариантных подмодулей 91, 0. Матрица (4), следовательно, выглядит так:
R 0
0 Т
где R соответствует представлению на 91, а Т — представлению на D. В этом случае говорят, что представление а>—* А распадается на представление а >—? Rua ?—? Т.
Если двойной модуль ЭЛ вполне приводим в смысле § 53, т. е. является прямой суммой простых двойных модулей, то получаемое с помощью ЭЛ представление задается матрицей
Ru 0
R?i
о Ru
где отдельные клетки задают неприводимые представления, среди которых, конечно, могут быть и равные. Такое представление называется вполне приводимым.
Примеры, иллюстрирующие понятия этого параграфа, доставит теория отдельно рассматриваемой матрицы, помещенная в следующем параграфе.
Задача 1. Если о —кольцо с единицей и представление этого кольца сопоставляет единице единичную матрицу, то для модуля представления это означает, что единица является единичным оператором. Показать с помощью одной из теорем § 84, что любое представление кольца о распадается на два таких, что в первом из них единице соответствует единичная матрица, а во втором каждому элементу сопоставляется нулевая матрица:
