Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
с коэффициентами
Ьи = 2 Яи
^1к = Ьм = ц,и (?<?)•
Форму В (х, у) называют полярной формой квадратичной формы <2(х).
Когда переменные х линейно преобразуются:
Х1 = Л :1НХ‘ (пУ е К). (4)
318 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. XII
форма С}(х) переходит в новую форму С}' {х')\
<г (*)=<?' (.х').
При этом матрица Р=|яу| предполагается неособой. Формы <2 и ф' называются рационально эквивалентными над полем К. Если матрица Р и обратная к ней Р 1 состоят из элементов некоторого кольца 31 е К, то формы называются эквивалентными над кольцом 31 (например, целочисленно эквивалентными, когда 31 = Ъ — кольцо целых чисел).
Если переменные у преобразуются точно так же, как переменные х, с коэффициентами щр
У1 = Ц пуУь (5)
то форма В (х, у) переходит в некоторую билинейную форму
В' (х', у'):
В(х, у) = В'(х', у').
Из (2) следует, что
0.'{х'+у') = 0!{х’) + 0:{у,) + в'{х’, У'). (6)
Если В — полярная форма квадратичной формы С?, то В' —
полярная форма квадратичной формы <2'. Построение полярной формы инвариантно относительно линейных преобразований переменных.
Если в (2) подставить у — х, то получится 4(2 (х) = 2(2 (х) + В (х, х)
или
2С}(х)=В(х, х). (7)
Если характеристика поля отлична от 2, то из В (х, х) можно восстановить форму (2(х):
<2{х) = ~ В (х, х) = у ^
Положим теперь у Ь1к = а{к, тогда можно будет записать квадратичную форму в виде
<2 ('^) ” ^(а ; г) ? (8)
Из коэффициентов Ьш билинейной формы В (х, у) можно построить следующий определитель:
Ьи ^12 ? • ь1п 2?1 <?12 • ? ?1л
п = &22 • ? Ь2п = ?12 2?2 • • <?2л
Ьп1 Ьп 2 . • Ьпп ?1л <?2л • • 2?Л
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
319
Определитель D называется определителем формы Q. Если характеристика основного поля не равна 2, то из разделенных на 2 коэффициентов aik можно построить определитель А. Этот определитель называется дискриминантом формы Q. Очевидно, имеет место равенство
D = 2пА. (10)
Выясним, как меняется определитель D при линейных преобразованиях (4). Подставим (4) и (5) в (3); получим
В' (х\ у’) = 2 Ь1кЩ]Пых)х\\
следовательно,
д'ц~^]Ь{кя^лк1, (11)
где суммирование ведется по индексам, встречающимся дважды. Равенство (11) можно записать как матричное равенство
В' = Р‘ВР, (12)
где Р‘— матрица, транспонированная по отношению к матрице Р = ЦяуЦ.
Если взять определители обеих частей равенства (12), то получится
D' = {Det (P)}2 D. (13)
Иначе говоря: определитель D умножается на квадрат определителя осуществляемого преобразования.
Начиная с этого места, предполагается, что характеристика основного поля отлична от 2. Заменим переменные xt на координаты ci произвольно взятого вектора и, а переменные yt — на координаты di вектора v и запишем:
f {и, v) = 2] alkCidk = ~ В (с, d),
в частности,
f (и, и) = 2 aikCiCk = Q (с).
Приведем квадратичную форму f(u, и) с помощью линейного преобразования к наиболее простому виду. Для этого выберем вектор vt так, чтобы было / (и^ пх) Ф 0; это всегда возможно, если f не есть тождественный нуль. Тогда уравнение f(vlt и)= 0 определяет некоторое поднространство Rn-! векторного пространства Rn, которое не содержит vl. Выберем в этом подпространстве, если возможно, вектор у2 так> чтобы было / (v2, v2) ф 0; тогда уравнение f(v2, и) = 0 вместе с предыдущим уравнением определяет некоторое подпространство Rn-2 в Rn-lt которое не содержит v2. Будем продолжать это до тех пор, пока не придем к подпространству R„ г такому, что f (и, и) = 0 для всех и из Rn-r, так что f(u, v)=0 для и и и из Rn-r- Может оказаться, что г = п\
320 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. XII
тогда Rn-r — нулевое подпространство. В противном случае выберем в Rn~r произвольный векторный базис vr+1, ..., vn. Тогда
f(vh vk) = 0 {1фЩ,
f(Vi, щ) = Тг=^0 (i = l, ..., r),
f(vt, O()=0 (i = r+l, ..., n).
Разложим теперь каждый вектор v по новому базису ..., vn:
v=2 vtdi>
тогда
tift)djdft = 2(14)
?
Таким образом, форма f, как принято говорить, преобразована к сумме квадратов.
Векторы w из подпространства Rn^r обладают тем свойством,
что
f(w, и) = 0 для каждого и,
и характеризуются этим. Следовательно, подпространство Rn-r и его размерность п — г инвариантно связаны с формой f. Число г квадратов в (14) также инвариантно; оно называется рангом формы f.
Предположим, что поле К упорядочено (§ 77). Число отрицательных коэффициентов у « в (14) называется индексом инерции формы f. Покажем, что и индекс инерции инвариантен (закон инерции Сильвестра).
Пусть та же форма /, разложенная по другим базисным векторам wh выглядит так:
/=2 y?^2;
1
предположим, что Yi» • • • > Ya положительны, a ya+i» • • • > Y^ отрицательны и, аналогично, у\, у'и положительны, a yh+l, • • •. Y г отрицательны. Пусть, например, k>h\ тогда линейные уравнения
^ = 0, ..., dh = 0, 4+1 = 0, ..., dr = 0
определяют пространство размерности, большей п — r. Для произвольного вектора и этого пространства должно иметь место
Г
неравенство f (и, и) = ^ ^ 0, а с другой стороны — неравен-
А+1
k
ство f (и, и) = 2 y’idf ^ 0; следовательно, f(u, и) = 0 и все коор-1
динаты dl и d\ нулевые, Поэтому вектор и лежит в Rn-r- Полу-
