Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а) о выделении среди 8; обратимых элементов;
б) о дальнейшем разложении циклических групп на примерные;
в) о единственности.
а) Пусть, скажем, 8! — обратимый элемент, так Что (б!) — единичный идеал Ш, т. е. 5ЯЛ1 = (0). Тогда циклическая группа может быть исключена из числа слагаемых в сумме
После выделения обратимых элементов остаются аннулирующие идеалы (8;), (0), которые мы расположим в виде убывающего
306
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
ряда ах, ..., а?; тогда
а* = 0 (а/+1).
б) Группы (/гг), которые аннулируются идеалом (0), изоморфны аддитивной группе кольца 91. Группы, которые аннулируются идеалами (е()=/=(0), в соответствии с доказанным в начале распадаются на примерные группы. Идеалы, аннулирующие примерные группы, находятся с помощью разложения числа ег на простые множители. Сумма всех встречающихся в разложении группы © подгрупп, относящихся к фиксированному простому числу р, является группой 33р, состоящей из тех элементов группы ©, которые аннулируются достаточно высокой степенью рр. По этой причине группы 33р определены однозначно. Если Ц обозначает сумму групп, для которых а = (0), то
® = 2®р + Ч-
Р
В результате дальнейшего разложения групп 33р вновь получаются примарные группы, которые определены не совсем однозначно, но, как мы увидим, однозначно с точностью до изоморфизма. В каждой группе 33р имеется однозначно определенный ряд подгрупп 33р, р, 33р, р_!, ..., 33р. о, где ЗЗр, л, состоит из тех элементов группы 33р, которые аннулируются числом р'1. Первой группой в этом ряду является сама группа 33р; последняя группа состоит из одного лишь нуля.
Группа II определена неоднозначно, но однозначно с точностью до изоморфизма:
и ^©/2 ззР.
р
в) Единственность. Аннулирующие идеалы а,, ..., а? при условии а( = 0(а/^1), встречающиеся в разложении в прямую сумму © = 61+ .. . + (??, определены однозначно модулем ©. (Иными словами: группы определены однозначно с точностью до изоморфизма.)
Доказательство. Утверждаемая единственность будет доказана, как только мы покажем, что о каждой степени простого числа ра из кольца 91 однозначно можно установить, во сколько идеалов л; она входит. Действительно, если ра входит в й из указанных идеалов, то в силу свойства делимости последних этими й идеалами являются первые й идеалов щ, ..., лр; таким образом, о каждой степени рП оказывается известным не только то, во сколько идеалов она входит, но и в какие именно идеалы. Тем самым о каждом лг выясняется, какие степени простых чисел в него входят. Идеалы л;, в которые входят неограниченно большие степени, равны нулю, а прочие идеалы однозначно определяются разложением на простые множители.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
307
Если число р° входит в идеал, аннулирующий циклическую группу (?(, то
а
является циклической группой с аннулирующим идеалом (р), т. е. простой группой. Если же ра в указанный идеал не входит, то р°&1=ра~Щ{ И р'7-1в;/р'7($1 =( 0). По этой причине р^-Щ/р0® является прямой суммой стольких простых групп, каково число к идеалов аг, делящихся на р1. Таким образом, число & равно длине композиционного ряда группы р<т-1©/рсг© и, следовательно, определено однозначно.
Задача 1. Провести подробно последнюю, конспективно изложенную часть доказательства.
Задача 2. Построенная в разделе б) группа 31 является модулем линейных форм над кольцом Ъ целых чисел, и количество ее циклических слагаемых равно рангу группы © (ранг — это максимальное число линейно независимых элементов над кольцом 9!).
Задача 3. Провести второе доказательство единственности с помощью понятия длины композиционного ряда применительно к построенным в разделе
б) и определенным однозначно группам и подгруппам. Можно использовать также ранг модуля ЗС (задача 2).
§ 87. Представления и модули представлений
Пусть К —некоторое тело.
Под представлением кольца о линейными преобразованиями или матрицами над телом К подразумевается произвольный гомоморфизм
о~С,
где О— кольцо квадратных матриц г-го порядка над К. Если гомоморфизм является изоморфизмом, то говорят, что имеет место точное представление.
Под модулем представления кольца о над К подразумевается «двойной модуль» ЭЛ, для которого с служит областью левых мультипликаторов, К —областью правых мультипликаторов, обладающий следующими свойствами:
1. Модуль ЭЛ является модулем линейных форм над К:
ЭЛ = г^К +... + ипН.
2. Для любых аес, и е ЭЛ, )1еН справедливо равенство
а-иХ = аи-Х (1)
Последнее условие означает, что умножение на а является некоторым операторным гомоморфизмом К-модуля ЭЛ, т. е. некоторым линейным преобразованием. Это линейное преобразование
308
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
задается квадратной матрицей А = || а.1к || —
О,' ик = ^|
а • ^ “ У У!
Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует некоторая матрица А над телом К. В согласии с аксиомами модуля произведению и сумме двух элементов а, Ь кольца о соответствуют произведение и сумма соответствующих им линейных преобразований, а потому и их матриц. Итак, отображение а>—+А является представлением кольца о.
