Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

= и (s, I (s)) + h (и; (s, I (s))) + (a; (s, I (s)), a (s, I (s))) +
+ i Sp В (s, I (s)) uxx (s, I (s)) + o(h) = a(s,l(s)) + o (A).

Мы воспользовались леммой 1 и тем, что «(s, х) удовлетворя-
ет уравнению (37). Из этого соотношения легко получить
такое:

М (а ((5 + nh), l{s + nh))) = u(s,l (s)) + no (h).
Если s-\-nh = v, то h= v~s и n= v~s ,

M (и (г», I (v)) | i (s)) = и (s, I (s)) + ±o (h).

Левая часть от h не зависит. Переходя к пределу при /г->0, по-
лучаем

M(u{v, l(v))\t{s)) = u(s, l(s)) = \u(v,y)P(s, l(s), v, dy). □

Глава 2

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Уравнения Колмогорова для диффузионных процессов уста-
навливают связь между марковскими процессами и дифферен-
циальными операторами второго порядка с диффузионными
коэффициентами процесса. Если ак^,х), £=1, . . ., к — коорди-
наты вектора переноса в некотором базисе, ЬшЦ,х)—элемен-
ты матрицы оператора диффузии в том же базисе, то этот
дифференциальный оператор имеет вид

(здесь хк— координаты точки х в указанном базисе). Оказы-
вается, если нам удастся построить диффузионный процесс
{т. е. семейство мер Р*,*) с диффузионными коэффициентами,
входящими в правую часть (1), то решения многих задач, со-
держащих дифференциальный оператор Ь, можно записать в
виде

где ГЦ,х(-)) при фиксированном I — некоторая функция, оп-
ределенная на пространстве непрерывных функций х(-) С(^,оо1)
определенных на [£, оо) и принимающих значения из Ял. Это и
есть вероятностное представление решения. С помощью такого
представления, используя свойства случайного процесса, мож-

но получать результаты о свойствах решений. Кроме того, в
теории вероятностей есть методы построения диффузионных
процессов. Поэтому формулы такого вида могут использовать-
ся для вычисления значений самого решения.

§ 1. Задачи для параболического уравнения

В этом параграфе Lt — дифференциальный оператор, опре-
деляемый равенством (1), символ t указывает, что коэффициен-
ты оператора зависят от времени. Относительно функций
bik(t,x) и ah(t,x) будем предполагать, что они ограничены и
достаточно гладки, так что решение рассматриваемых задач
существует и единственно.

1.1. Задача Коши.

а) Обратная задача Коши для уравнения с
правой частью. Пусть 7>0. Рассмотрим решение урав-
нения

-HïU(t,x) + Ltu(t,x) = f(t,x), t<T, xeRd, u{T,x)~<f(x). (2)

Краевое условие задается на гиперплоскости t=T, функции
f(t,x) и ф(*) ограничены и непрерывны.

Теорема 1. Пусть £((•)—диффузионный марковский
процесс с диффузионными коэффициентами a(t, х) и B(t,x),
которые в естественном базисе Rd имеют координаты ак и ма-
трицу (bih). Если Ps,x обозначает соответствующие процессу
вероятности, то

т

u(t, x) = MtlXq>(lt(r))-mtlX\f(s, lt(s))ds. (3)

t

Доказательство. Покажем, что для всех 0^s<.t<.T
и х£Х числовой процесс

т

£ (*) = и (t, l, (t)) - j / (и, t, (и)) du

s

является мартингалом относительно меры Ps,x- Имеем при tA-
-\-h^.T (в обозначениях главы 1)

М,,,(£(* + А)-£(0|^ =
= Ms.x(u{t + h,ls{t + h))-u{t,lt (t)) | Si) -

/t+h \

-Ms,xi j f (u, ls a))fifa|Slj =
= MSlX(ux(t, ls(t))h + {u'x(t, £,(')), a(t, |,(*)J)A +

+ ^Spuxx (t, ls (t)) B{i,ls {t)) h - hf {t, |, (t)) | s?) + о (A) = о (A)
( мы воспользовались леммой 1 § 3, гл. 1 и уравнением (2)).

Если 0<5<г<«<7\ к = "—^, то, суммируя равенства

М»,*(£(* + аа)+ — ^'?+(*-п*) = о(а), А = 1, ...,я,

и затем беря условное математическое ожидание относительно
#7, получим

М,.х{Ш -1 (О | 91) = по (А) = 2=1 о (А).

После перехода к пределу при А-»-0 убеждаемся, что 5(0 —
мартингал. Так как £,(Т) =ср(МП)> т0

М,,,Ф (^ (7")) = М,.,£ (Г) = М,, (5) =

г

= М,,,и(5, ^(5))-М,1Д-1/(и, 18(и))с1и.

Из этой формулы получаем при 5 = г (3), так как
М5,ягф, Ыз)) = ы(5, *)• □■

б) Прямая задача Коши для уравнения с
правой частью. Пусть 7>0. Рассмотрим решение урав-
нения

^и(/, х)-Ь{и^, *) = /(*, х), 0<*<7\ хе$*, (4)
и(0, х) = <р(х).

Тогда функция ит(1, х) =и(Т—I, х) будет удовлетворять уже
уравнению

й

тУ' ■ + 2в,(Г-М-Йг2 +

+ ^ 2 *'* (7* - -^Г—- ^-/(Т-£,х). (5)

Пусть £т(0—Диффузионный процесс, заданный на [0, Т] с
диффузионными коэффициентами, входящими в уравнение (5).
Тогда, используя результат теоремы 1 находим

и х) = ут (Т - и х)=М?-1 „Ф (Г)) +

г

+ М£_,,* | / (Г —и, 1тт^{и))йи. (6)