Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

n

= \ P(s, x, tu dxAM^.xJI /ал(ЪЛ**))-

Отсюда по индукции получаем

Ps,x{h(h)eAu...,Zs(tn)eAn} =

= 5 P(s, x, tu dxx) \ P (tx, xu t2, dx2)...

Ai As

... J P(tn-u xn_u tn, dxn). (5)

Таким образом вероятность перехода определяет значение ме-
ры Ps, х на о-алгебрах Фи3, определяемых событиями {is (0 6
€Л}, /6[s, и], Л6^. Это показывает, что вероятность перехода
позволяет построить марковский процесс на специальном про-
странстве {Q, У}. В качестве О, выберем пространство XR+
всех Х-значных функций со = со(/), определенных на R+, У—
цилиндрическая а-алгебра в Х^+, is(co)=co(0 при t^s. Будем
считать, что |8(со)бС, где СвУ, если существует такое со, что
со (t) = со (t) при t^zs и собС. Через yts, где s<t будем обозна-
чать а-алгебру цилиндрических множеств из У с основаниями
в [s,t]. Очевидно выполнены условия 1)—3). Меры ps, х опре-
делим сначала на а-алгебре У £ с помощью конечномерных
распределений, заданных равенством (5). Для любого С^У
считаем, что is(w)6C, если при некотором собС £s(t, и) =
= is(^, со). То, что выполнены свойства а, б, в 4), вытекает из
формулы (5) и свойств I—III вероятности перехода.

Итак, в определенном смысле изучение марковского процес-
са сводится к изучению вероятностей перехода, т. е. функций
P(s,x,t,A), удовлетворяющих условиям I—III. Уравнение III
здесь является основным.

С вероятностью перехода можно связать два семейства ли-
нейных преобразований — в пространстве ограниченных ^-из-
меримых функций Вх из X в R, это банахово пространство с
нормой H/II = sup |f (х) \, и пространстве Жх зарядов (счетно ад-

х

дитивных функций ограниченной вариации) на если v —
такой заряд, то

||v|| = varv= sup K/rfvj.
Эти семейства преобразований Ts,t определяются равенствами;

[Ts,<f](x)^f(y)P(s,x,t,dy), /еВх, (6)

[vTs,t]{A) = \P(s,x,t,A)v(dx), v^Mx. (7)

Первое преобразование переводит Ъх в В^, второе — JCx в
Ж х- Мы обозначаем преобразование одной буквой, но к мерам
оно применяется справа, а к функциям слева (это аналогично
тому как матрицы применяются к строкам справа, а к столб-
цам слева).

Из условия II вытекает, что \\TS, г|| = 1. Наконец, условие III
перепишется так: при 0^5</<ы будет

Ts, tTt, u — Ts, и. (8)

Так как Р (t, х, t, А) =1А(х), то TS,S = I, где / — оператор тож-
дественного преобразования. Операторы Ts,t обладают еще
одним свойством: они неотрицательные функции из Ъх пере-
водят в неотрицательные, а меры из Жх в меры.

Приведем еще связь вероятности перехода с некоторым клас-
сом мартингалов, порождаемых марковским процессом. Пусть
/еВ.х, положим для Ог^^а

u(t,x) = \P{t,x,a,dy)f (у). (9)

Тогда при t£[s, а] числовой процесс = |s(0) является
мартингалом относительно потока У ts на вероятностном про-
странстве (Q., У, Р., х каково бы ни было xdX. Действительно,

при S,<V<t

М,,,(и(*, Ы'))|^) = М,,5,(Р)а(*, Ы0) =
=$и(/, z)P(v, t, dz) = [([P(t, z, a, dy)f(y))x

X P (v, ls (v), t, dz) = \f (у) \ P (v, Is (v), t, dz) P (t, z, a,dy) =

= \f(y)P (?, %s (?), a, dy) = u(v,l, (v)).

Наоборот, если некоторая ограниченная функция Ф(^, х) такова,
что при t£[s, a] Q>(t, £,s(t)) является мартингалом, то

Ф (*, I, (*)) = Ms,x (Ф (a, Is (а)) | У5*) =
= М<1В,(„Ф(*, g,(«)) = J® С 1Л0. a, dz).

Таким образом, формула (9) задает все ограниченные функ-
ции u(t,x) двух переменных, измеримые по х, для которых
w(^>£s(0) является мартингалом относительно мер Ps, х.

а) Од нородные марковские процессы. Map*
ковский процесс называется однородным, если вероятность пе-
рехода Р (s, х, t, А) зависит лишь от разности t—s:
P(s, х, t, А) =Р(0, х, t—s, А). Для однородного процесса будем
обозначать Р(0, х, t,A) через P(t, х, А). В этом случае будем
говорить об однородной по времени вероятности перехода.
Уравнение Чепмена—Колмогорова для однородного процесса
имеет вид

P(t + s,x,A) = \P(t,x, dz)Р(z, s, А). (10)

Операторы Ts, t зависят лишь от разности t—s, если положить
To,t = Tt, то семейство операторов {Tt, t>0} образует однопа-
раметрическую полугруппу операторов: Tt+s = TtTs, операторы
Tt коммутируют между собой. Формула (5) для однородного
процесса имеет вид:

Ps,x{ts№Au ls(tn)eAn} =
= ^P(t, — s, x, dx1)^P(t2 — tx, xu dx2). ■.

Ai A2

...\P{tn — tn_x,xn_x,dxn). (11)

Эта формула показывает, что конечномерные распределения
процесса |s(/-f-s) зависят только от х (начального состояния)
и не зависят от s. Поэтому можно рассматривать один процесс
%(t) и семейство мер Р„ х£Х, которые отвечают процессу, начи-
нающемуся в момент 0 из точки х. Условие (2) для однород-
ного марковского процесса принимает вид: при 0^u<ti<...
... <tn